Дробные классы Соболева на бесконечномерных пространствах

• Автор: Никитин, Егор Владимирович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 59 с.

Содержание
Введение

Глава 1. Интерполяционный подход

1.1. Определение и основные свойства

1.2. Метод следов

1.3. Дуальность и полугрупповое представление

Глава 2. Подход через полугруппу Пуассона

2.1. Определение, эквивалентность в I/2 и

базовые свойства вложения

2.2. Эквивалентность в общем случае и теорема вложения

Глава 3. Классическое определение в бесконечномерном случае

Литература

Введение
Общая характеристика работы
Актуальность темы. На конечномерных пространствах существуют различные способы определения пространств Соболева с дробным порядком дифференцируемости. Среди них наиболее хорошо изучены пространства Бесова1,2, а также близкие к ним пространства Слободец-кого3. Подобные дробные шкалы пространств широко применяются в теории дифференциальных уравнений с частными производными (см. монографии4,5). Пространства типа Бесова тесно связаны с пространствами Соболева. Как правило, одни вложены в другие, а в некоторых случаях совпадают. Один из важнейших известных результатов состоит в том, что следы функций из пространства Соболева на Мп представляются функциями из пространства Бесова на соответствующем подпространстве Жп~к.
Классы Соболева над бесконечномерными пространствами впервые были определены и исследованы H.H. Фроловым6 в начале 1970-х годов также с целью применения к дифференциальным уравнениям.
Несколько позлее такие пространства стали использоваться П. Мал-лявэном в разработанном им «исчислении Маллявэна»7 и быстро стали весьма популярным объектом исследования на стыке стохастического анализа, нелинейного функционального анализа и теории меры (см.
■*-О.В. Бесов. О некотором семействе функциональных пространств. Теоремы вложения и продолжения. ДАН СССР. 1959. Т. 126, N 6. С. 1163-1165.
■^О.В. Бесов. Исследование одного семейства функциональных пространств в связи с теоремами вложения и продолжения. Труды МИАН им. Стеклова. 1961. Т. 60. С. 42-81.

Л.Н. Слободецкий. Обобщенные пространства С.Л.Соболева и их приложения к краевым задачам для дифференциальных уравнений в частных производных. Ученые записки ЛГПИ им. А.И. Герцена. 1958. Т. 197. С. 54-112.
“*Х. Трибель. Теория интерполяции, функциональные пространства, дифференциальные операторы. Мир, М., 1980.
^М.С. Агранович. Соболевские пространства, их обобщения и эллиптические задачи в областях с гладкой и липшицевой границей. МЦНМО, М., 2013.
®Н.Н. Фролов. Теоремы вложения для пространств функций счетного числа переменных I. Тр. Ин-та матем. Воронеж, ун-та. Изд-во Воронеж, ун-та. 1970. Вып. 1. С. 205-218.

P. Malliavin. Stochastic calculus of variation and hypoelliptic operators. Proc. Intern. Symp. on Stoch. Diff. Eq. P. 195-263. Wiley, New York - Chichester - Brisbane, 1978.

монографию8). Современное состояние их теории представлено в книге9. Систематическое изучение пространств Бесова над бесконечномерными пространствами пока не осуществлялось. В нескольких работах для определения пространств типа Бесова применялся вещественный метод теории интерполяции, который также может использоваться и в конечномерном случае. Вещественный интерполяционный метод в разных формах предложили Ж.Л. Лионе, Ж. Петре10 и другие математики.
В работе 2003 года Э. Эро, В.И. Богачев и П. Леско11 использовали вещественный интерполяционный /б-метод для определения дробных классов Соболева Еа’р(7), 0 < а < 1, на локально выпуклом пространстве с гауссовской мерой 7. Основным результатом этой работы является теорема о том, что сужение соболевской функции на подпространства Е + у, параллельные конечномерному подпространству Е из пространства Камерона-Мартина, лежат в классе Еа,р{/уу) по условным мерам на Е + у при почти всех у относительно проекции меры на дополняющее Е подпространство.
В упомянутой работе Э. Эро, В.И. Богачева и П. Леско используются результаты, полученные в известной работе С. Ватанабэ12, где пространства Es’p(7) определяются интерполяционным методом следов Ж.Л. Ли-онса для произвольного s, при этом для целых s пространство Es,p(7) полагается равным пространству Соболева. Пространства Es'p(7) оказываются удобнее пространств Соболева в первую очередь благодаря свойству инвариантности относительно композиций с липшицевыми функциями. Эквивалентность определения, которое дает Ватанабэ, определению через интерполяционный К-метод для 0 < s < 1 можно считать очевидной, однако в общем случае для утверждения эквивалентности требуется

I. Shigekawa. Stochastic analysis. Amer. Math. Soc., Providence, Rhode Island, 2004.
9В.И. Богачев. Дифференцируемые меры и исчисление Маллявэна. НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», М. - Ижевск, 2008.
■^J.L. Lions, J. Peetre. Sur une classe d’espaces d’interpolation. Publ. Math. Inst. Hautes Etudes Sei. Publ. Math. 1964. V. 19. P. 6-64.
11Э. Эро, В.И. Богачев, П. Леско. Конечномерные сечения функций из дробных классов Соболева на бесконечномерных пространствах. Докл. РАН. 2003. Т. 391, N 3. С. 320-323.

S. Wanatabe. Fractional order Sobolev spaces on Wiener space. Probab. Theory Related Fields. 1993. V. 95. P. 175-198.
1.3. ДУАЛЬНОСТЬ И ПОЛУГРУППОВОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ
где А — генератор полугруппы с областью определения О (А). Тогда, для О<0<1и1<р<оо выполняется равенство
(^о,Xi)e,q;K = и | и Е Х0, ||«||г0 := ||гі||х

+ (/* Г1~втя\(1 -G,)"u]|^0d() < 00}.
При этом норма ||гх||г0 эквивалентна аналогичному выражению, но без слагаемого ||и||дг0.
Напомним, что {Tt} обозначает полугруппу Орнштейна-Уленбека. Для а > 0 положим
Tla) = e~atTt. (1.3.2)
Тогда — полугруппа с генератором L — al. Определим полугруппу Q? следующим равенством:
ГОО J.
Q{f] = [ T^X]/2(ds), f/2](ds) := —~e-t2^s~V2ds. (1.3.3)

При a = 0 полугруппа Qf^ — Qt называется полугруппой Пуассона (полугруппой Коши). Применение полугруппы Qк определению классов Бесова подробно изложено в следующей главе.
Заметив, что областью определения оператора А — — (I — L)1//2 в Hv'k(p/) является НР)к+1(7), получаем следующее предложение. Предложение 1.3.2. Пусть s = k + a,keZuO я*м(7) = НиєДЛ‘М.НІ.~м :=

Оо 1 1 <0°}> ^-3-4)
где = е-(7-і)1/2* — полугруппа с генератором А = — (/ — Ь)1^2.
Пространства £^,р(7) имеют аналогичное представление, где д = р, так как Е(в,р)(7) = В3'р'р(7).