Факторизационные представления и свойства корневых множеств весовых классов аналитических функций

• Автор: Быков, Сергей Валентинович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Брянск
• Количество страниц: 130 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение
Глава 1. Исследование свойств корневых множеств классов целых и голоморфных в полуплоскости функций

§1.1.0 нулях целых функций с мажорантой бесконечного порядка

§1.2. Описание корневых множеств функций из класса Н(А.,+со)

и построение их факторизационного представления

§1.3.0 вещественных нулях аналитических в полуплоскости функций с мажорантой бесконечного порядка

§1.4. Об условии Бляшке в полуплоскости

§1.5. Об одной теореме Н. В. Говорова

§1.6. О росте бесконечного произведения типа Вейерштрасса в полуплоскости

Глава 2. Факторизационное представление и оценки в среднем классов голоморфных в круге функций, допускающих рост вблизи граничной окружности
§2.1. О факторизации аналитических в круге функций с мажорантой конечного порядка
§2.2. О нулях аналитических в круге функций с мажорантой первого порядка
§2.3. Факторизационные представления и Ьр- оценки производных аналитических функций
Список использованной литературы
Введение
Актуальность темы. Хорошо известно, что исследование свойств корневых множеств и построение факторизационных представлений различных классов аналитических функций играют важнейшую роль в общей теории функций комплексного переменного и её приложениях. Исследование этих вопросов привлекало внимание классиков комплексного анализа ещё в начале прошлого столетия. В этой связи отметим классические работы К. Вейерштрасса, Ж. Адамара, Ф. Бореля, Е. Линделёфа, О. Пикара и др. о нулях целых функций, имеющих заданный рост вблизи бесконечно удалённой точки, а также работы Р. Неванлинна и В.Н. Смирнова о внешне-внутренней факторизации классов Харди и классов функций ограниченного вида в единичном круге. Эти вопросы остаются в центре внимания современных авторов, для этого достаточно отметить работы Б.И. Левина ([26]), М.М. Джрбашяна ([20]—[23]), Н.В. Говорова ([14]- [15]), Б.А. Тейлора ([51]), Л.А. Рубеля ([50]- [51]), A.A. Гольдберга ([19]), И.В. Островского([19]), А.М. Седлецкого ([28]), Ф.А. Шамояна ([34]- [35]), H.A. Широкого ([55]), Б.И. Коренблюма ([46]), К. Сейпа ([52]), Б.Н. Хабибуллина ([30]) и других математиков, посвящённые исследованиям свойств корневых множеств и построению факторизационных представлений ряда важнейших классов голоморфных функций.
Приведём обзор некоторых результатов, тесно связанных с тематикой диссертационной работы, для этого введём необходимые обозначения и определения.
Пусть С- комплексная плоскость, Я (С)- множество всех целых функций, Я— монотонно возрастающая, положительная функция на К+.
Введём в рассмотрение классы функций
Н (Я,+оо) = {/ е Я (С): ln|/(z)| < Сf -/l(|z|), zeC) (0.1)
и Н (Я,-ко) - |/ е Я (С) : ln|/(z)| < Af Я{В/ -|z|), zeCj. (0.2)

где Af,Bf,Cf - здесь и в дальнейшем будут обозначать произвольные постоянные, зависящие только от функции / . Пусть Л е С(1) (М+) и существует предел Л'(х)-х
ал - £[х)~ ’ тогДа назовём его степенным порядком функции Л. Нетрудно
заметить, что если ал < +оо, то рассматриваемые классы функций Н (Л, +оо) и
Я (А,-ко) совпадают, а если А(х) = хр, х е R+, то они совпадают с классом целых функций конечного порядка р и нормального типа. Однако при ал = +оо это уже не так, например, в случаях когда
Л(р = ехрехр...ехр(У), t еМ+, ре!+ или Я(/) = ехр(1п/)р, /еК+, р> 1.

Если Л(() = (р, /еК+, р е М+, то класс Я(А,-юо) обозначим через Я(р,+оо).
В дальнейшем будем считать, что если / е Я (С), то Zf будет обозначать мно-

жество всех нулей функции /, то есть Zy = [z е С: /(z) = 0}.
Хорошо известно следующее свойство корней функции из класса Я(/?,+оо): последовательность можно представить в виде Z = Zf,
р <£ N, р > О тогда и только тогда, когда
n(r) = [card zk:zk Но при р е N наряду с условием (0.3) возникает еще условие Е. Линделёфа (см. [19], [26]): существует М>0, такое что
Используя последнее условие, нетрудно построить последовательность {а}Г| > причём /#0, /е Я(р,+ш), Р е N, такую, что для любой
функции g е Я(р,+со) из условия Zg=Zf, где - {|а|}4| , следует, что
(г) = 0, геС, то есть множество Zf не представимо в виде ни при каких
В последнем интеграле сделаем замену переменной Си =;, тогда
Сф(х)= С>1.
Но поскольку ф' (х) возрастающая функция, то ф' < ф' (/) при всех I,
Сх ( I Сх
поэтому |ф' — Л й , ТО есть
О / о
Сф(х)<ф(Сх).
Лемма доказана.
Лемма 1.5. Пусть = f ФО, f е#(Я,+со) — множество нулей функ-
ции / в С. Тогда если п(г) = сагс1 гк :|гА| < г|, то
где А/,В/— числа из оценки (1.2).
Доказательство.
Пусть/е#(Я,+оо), /#0, /(г*) = 0, £ = 1
Не ограничивая общности, можно предполагать, что /(0) -1.
По равенству Иенсена для функции /(г) имеем:
г /а ч 2п * 2л
/VА = 2 /1п 1/(Ге'Ф)1 "Ък |А/Х(В/Г)с*(Р = -2к-ММ = А/-ХМ,
где 0 < г < +оо; однако, с другой стороны,

= и(г)-1п2.
О * г г
Учитывая, что и(г) - неубывающая функция, то получаем, что
п(г) 1п 2 < 1?0-±<А/-Х(2В/-г),

откуда непосредственно следует