Перестановки интегралов в банаховых пространствах

• Автор: Осипов, Олег Сергеевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Томск
• Количество страниц: 74 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ
1.1. Вопрос аффинности и замкнутости области сумм
1.2. Перестановки несобственных интегралов
2. ПЕРЕСТАНОВКИ ИНТЕГРАЛОВ
2.1. Изоморфизмы пространств с мерами
2.1.1. Метрическая булева алгебра
2.1.2. Точечный изоморфизм измеримых пространств
2.1.3. Изоморфизм измеримых пространств
2.1.4. Взаимосвязь изоморфизма и точечного изоморфизма измеримого пространства
2.2. Перестановки несобственных интегралов
2.3. Невозрастающие перестановки функций Харди-Литтльвуда
2.4. Связь перестановок и невозрастающих перестановок функций Харди-
Литгльвуда
3. ОБЛАСТЬ СУММ ИНТЕГРАЛА
3.1. Область сумм интегрального аналога ряда Марцинкевича - Никишина
Корнилова
3.2. Область сумм интегрального аналога ряда с двухточечной областью
сумм
3.3. О линейности области сумм интеграла в конечномерном нормированном
пространстве
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
ЛИТЕРАТУРА

ВВЕДЕНИЕ
Актуальность работы. В задаче 106 «Шотландской книги» [24] С. Банах

сформулировал следующую проблему. Пусть 2Хп ~ так°й РЯД в банаховом

пространстве, что при двух определенных упорядочиваниях слагаемых его сумма равна у0 и у1 соответственно. Доказать, что для любого вещественного I существует такое упорядочивание слагаемых данного ряда, что сумма равна
1у0 + (1-1)уг

М. И. Кадец [5] ввел определение области сумм ряда J~] хп векторов ба-нахова пространства X как множества всех таких у & X, что при некоторой

перестановке л натуральных чисел ряд сходится к у. В случае услов-

но сходящихся числовых рядов согласно классической теореме Римана область сумм совпадает с множеством всех вещественных чисел..Для рядов комплексных* чисел описание области сумм было дано П. Леви в 1905. Е. Штейниц [22] в

1913 доказал следующую теорему: область сумм ряда в т -мерном про-

странстве X есть подпространство вида s + Г0, где s - сумма указанного ряда
OQ ОО
, Г0 - аннулятор множества Г = {/ & X*; f(xn) | сходится }.
»=1. П
В бесконечномерном банаховом пространстве аналог теоремы Штейница не верен, и область сумм ряда может быть нелинейной (Марцинкевич [23], Е. Никишин. [10]), незамкнутой (М. И. Островский [17]), состоять из нескольких точек (М.И. Кадец и К. Возняковский [20], Г1. А. Корнилов [7]).
Из курса анализа хорошо известна аналогия между свойствами числовых рядов и несобственных интегралов. Естественно возникает вопрос: что можно сказать о множестве тех чисел или векторов, к которым сходится «перестанов-

-♦+00
ка» условно сходящегося интеграла /(х)(1х ? Останется ли справедливым

аналог теоремы Римана, аналог теоремы Штейница? Каковы свойства «области сумм» несобственного интеграла в бесконечномерном пространстве и что можно сказать относительно интегральных аналогов рядов, для которых не выполняется утверждение теоремы Штейница? Эти вопросы изучаются в данной работе.
Цель работы. Целью работы является получение новых результатов о свойствах перестановок и областей сумм несобственных интегралов в банаховых пространствах, исследование интегральных аналогов рядов с нелинейной областью сумм.
Научная новизна. Все основные результаты работы являются новыми. К основным результатам работы можно отнести следующие.
1. Рассмотрено новое понятие - перестановка измеримого пространства. Установлена связь между автоморфизмами метрической булевой алгебры и перестановками на измеримом пространстве Лебега-Рохлина. Установлена связь между невозрастагощими перестановками функций Харди-Литтльвуда и перестановками на измеримом пространстве ([0, +оо). р), где р - мера Лебега.
2. Доказано, что область сумм интегрального аналога ряда Марцинкеви-ча-Никишина-Корнилова совпадает с пространством Ьр [0,1].
3. Доказано, что область сумм интегрального аналога ряда Корнилова (область сумм ряда состоит из двух точек) совпадает с множеством постоянных функций пространства Д [0,4].
4. Рассмотрен подкласс перестановок от пространства ([0,+оо),р), где

р - мера Лебега, со свойством к[а, Ь) = и К ,(1п) для любых неотрицательных

чисел а, Ъ. Доказано, что область сумм несобственного интеграла в любом ко-
1. Существует М > 0 такое, что
W0,0О
е = е. = V е , Шлпп < М,
0 *0,0,0,0 “*0,1 ,А. ,0 °'0>0

= E‘w- ”V,

е. = е , тп . < М, 0 < s, < тппп, 0 < s0 < т ,
W f-' Wj 0.»,J — - 1- 0,0,0’ - 2- 0,l,Sj

о < *„_2 < m0>n_3iV3, 0 < р < т0п_2, 0 < j < т%п_

'0.0
еп — е.

= > е. , тппп < М,

v„ = £ e. = e. , mn . < M, 0 < s. < mnnn, 0 < s., < m ,
w V»+I,t,j 9,»J — — l — 9,0,0’ — 2 — 9,1,S,

0 < s . < mn , , 0 < p < mn „ , 0 < j < mn , ,
— n—2 — Q,n—3,Äfl_3 — r — Q:n'~ 2»*„_2
Пусть Q + 1 < M. Пусть i , . i , . , еслм g v± q или n n , или
1,ПРП’Л ?2,n2’ 2J-?2 12 i Z
&, fc . или 7, jn.
2’ Jl J2
2. Пусть в пространстве X существует базис {хп }]Д() w Р > 0 такое,

что хп — efc для каждого п 6 N U {0}, где рп < Р и а.к 6 М.

3. lim ||е || = 0;