Приближение функций суммами Фурье по тригонометрическим ортогональным полиномам

• Автор: Сандакова, Светлана Леонидовна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Екатеринбург
• Количество страниц: 75 с.

Обозначения

Глава 1. Двусторонняя поточечная оценка функции Лебега сумм Фурье по тригонометрическим ортогональным полиномам

§1.1. Краткая история вопроса. Основной результат

§1.2. Вспомогательные предложения

§1.3. Доказательство теоремы 1.1.1 при т

§1.4. Доказательство теоремы 1.1.1 при т >

§1.5. Некоторые следствия из теоремы 1.1

Глава 2. О точности неравенства Лебега

§2.1. Краткая история вопроса. Основные результаты.... §2.2. Связь ядер Дл„(0,т) с многочленами,

ортогональными на окружности

§2.3. Оценки величины Ап(в,т)

§2.4. О нулях ядра ГфдДДт)
§2.5. Доказательство теоремы 2.2
§2.6. О точности неравенства Лебега в нулях веса для индивидуальной функции в случае тригонометрических ортогональных полиномов .... §2.7. О точности неравенства Лебега
в нулях веса для индивидуальной функции в случае обобщенных многочленов Якоби
Список литературы

Обозначения
R:= (-00,00), Z+:= {0,1,...}, N := {1,2,...},
Z — множество всех целых чисел,
С — множество всех комплексных чисел;

ИЛ|ыМ := [ f F(t)rdt] ' (1 < г < 00), ||^||ь~[а,ч := ess sup |F(f)|;
I*J a
Lr := Lr[0, 27г] — пространство 27г-нернодических функций F, суммируемых в r-й степени с нормой ||F||r := {2n)~llr\F\Lr^^]'-i
Сїп — пространство непрерывных 27г-периодичоеких (функций;
сu(t) — модуль непрерывности;
u(F;6)r := sup|A|<(5 ||F{A + •) — F(-)||r — модуль непрерывности функции F в пространстве Lr;
En{F)r — наилучшее приближение в Lr функции F тригонометрическими полиномами порядка не выше щ
En(F) — наилучшее приближение в Сг ж функции F три сонометри че(жи м и полиномами порядка не выше п;
{Pn{t)}%Lо — ортоиормированная на [—1,1] с весом p(t) система алгебраических многочленов;
p(t) := H(t)( 1 — t)"(l -ЬП”=і К — xv[r" ~~ обобщенный вес Якоби на [—1,1] (предполагается, что — 1 < ац < ... < хт < 1; а, /3,71 ут > —1 (и = 1 т), a H{t) — измеримая па [—1,1] функция, ограниченная снизу и сверху положительными константами);
Knx,t) = Y1 Pk{x)pk{t) к
Snf; x) - /*г f(t)I Lix) = |Яп^(х, £)|p(i)cft — функция Лебега сумм Sn’f;x);
Р„ — множество алгебраических многочленов порядка не выше п;
ад) — наилучшее равномерное приближение на отрезке [—1,1] функции / многочленами из Р„;
В(к, q) := (М + 2)к +
Аі(ж) := {пу/ї — Xі + 1 )/ra2;
{Ф„(т)}“о — ортонормированная на отрезке [0,2л-] с весом р Є L1 система тригонометрических полиномов, полученная из последовательности l,COST, sinT, cos 2т, sin 2т,... методом ортогоналнзации Грама—Шмидта;
Dv*(8,r) ■■= ELUФ*(0)Ф*(т);
sv,n(F]G) ■= ^ f F(t)Dwi(0, т)ір(т) dr (n Є Z+, в Є R) — суммы Фурье

функции F (Ftp Є L1) по системе {Ф„(т)}тс^0;

kv,n(ß) := ^ / |A^,2h(Ö, t)|v3(t)c?t — функция Лебега сумм sv,2(l(F; 0);

<£>(т) = /г(т) ПЕі |sin[(T — 0y)/2]|7,/ (т Є Ж) — обобщенный 2тт-нериодический вес Якоби (предполагается, что /і — неотрицательная функция, принадлежащая L1 вместе с l//t; 71 > —1 ym > —1; —7Г < в < ... < вш < 7г);
{<рп(л)}^Г0 ~ система алгебраических многочленов, ортонормированная па окружности z = 1 с весом р(т) Є L1;
<Рп(2) •' = •z’VnC?-1) (г Є С, г ф 0, п Є Z+);
K„( При г > 0 через Яг обозначается класс Харди, т.е. класс аналитических в

Из (2.2.1), (2.2.2) и (2.2.4)—(2.2.6) следует (2.2.3). Лемма доказана.
* Ниже будет применяться следующая лемма, анонсированная (без доказательства) В.М. Бадковым в [16]. Приводимое доказательство принадлежит
В.М. Бадкову и приводится с его согласия.
Лемма 2.2.2. Пусть (гг)0 — система многочленов, ортопорми-рованная на окружности z = 1 по мерс da(r). Тогда для любой из ветвей функции 'уГТ,п{т) ■— arg 7<г,п(т)-7*,п(0) = ;кт- 0) + [ ^Aelu)-2TlT.Aetu)2du. (2.2.7) 2 2 J0 1у
Доказательство. Дифференцируя по т равенство V«r,»(eir) = e^-M|y> имеем
ieiT^n(e") = е^^п(е{т) + <„(r)|¥pff,n(e")le^W.
Умножая обе части этого 1)авснства на —2iП,п(е") = e_!7,7'n(rV 2е"^(е{т)^м^) = + Н,„(т)|^.п(е{г)|2.
"и (2.2.8) Из (2.2.8) и формулы В.М. Бадкова (см. [13, лемма 11.1])

2Ш(е"^<п(е")^^)) = n^n(eiT)2 + КЖГ)|2 (2-2.9)
i
следует, что
W п
27a,nWl¥5ff>n(eiT)|2 + ^ |^(e*V)|2.