Формулы Фейнмана для эволюционных псевдодифференциальных уравнений в суперанализе

• Автор: Панюнин, Никита Михайлович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 72 с.

Оглавление
Введение

1 Аналог теоремы Минлоса-Сазонова для супермер

1.1 Гильбертово суперпространство

1.2 Супердифференцируемость

1.3 Супермеры

1.4 Суперпреобразование Фурье

1.5 Аналог теоремы Минлоса-Сазонова для супермер

2 Формулы Фейнмана-Каца и Фейнмана для эволюционных псевдодифференциальных уравнений в суперпространстве

2.1 Предварительные сведения

2.2 Распределение Фейнмана на фазовом суперпространстве и

псевдодифференциальные операторы
2.3 Эволюционные псевдодифференциальные уравнения
2.4 Формулы Фейнмана-Каца и Фейнмана
Заключение
Список литературы

Введение
Диссертация посвящена получению представлений функциональными интегралами решений эволюционных псевдодифференциальных уравнений относительно функций, определенных на суперпространстве и принимающих значения в супералгебре. Получены представления решений для некоторого класса таких уравнений в виде формул Фейнмана-Каца и Фейнмана. Кроме того, в работе доказывается аналог теоремы Минлоса-Сазонова, дающий критерий счетной аддитивности цилиндрических супермер в терминах непрерывности их суперпреобразования Фурье.
Первые работы, выполненные на математическом уровне строгости, в которых делались попытки построить теорию коммутирующих и антикоммутирующих переменных появляются в 60-х годах прошлого века. Самой первой работой принято считать работу Дж. Л. Мартина [22]. В дальнейшем подход, предложенный в ней, развивался в работах Ф. А. Березина [1, 2, 3, 4], Д. А. Лейтеса [5, 6], Б. Константа [49] и других авторов. Сейчас этот подход принято называть алгебраическим суперанализом.
В физических приложениях используется и другой подход, основанный на понятии суперпространства, введенного Саламом и Стратди в работах [24, 25]. Этот подход развивался в работах М. Бэтчелор [26],
А. Джадзика и К. Пилча [27], а позднее в работах Б. Де Витта [18], А. Роджерс [19, 20, 21], В. С. Владимирова и И. В. Воловича [7, 8], О. Г. Смолянова и Е. Т. Шавгулидзе [9, 10], А. Ю. Хренникова [12, 13, 14, 15, 16], Ю. Купша [31] и других. Анализ, развитый в этих работах называют функциональным суперанализом.

Оба формализма(алгебраический и функциональный), позволяющих на математическом уровне строгости оперировать с коммутирутирую-щими и антикоммутирующими переменными, возникли при попытках обосновать многочисленные физические работы, где эти операции использовались на физическом уровне строгости. А именно, работы, в которых стремились представить вторичное квантование фермионных полей в форме, аналогичной форме квантования бозонных полей, а также работы, связанные с исследованием суперсимметрии в математической физике.
В современной суперматематике используются оба подхода. Они находят приложения для решения уравнений, возникающих в квантовой теории поля и в теории суперструн. Многочисленность этих приложений требует дальнейшего развития математического аппарата. Кроме того, возникают задачи, интересные и сами по себе.
В диссертации используется функциональный подход к суперанализу. Будут рассматриваться модели бесконечномерных суперпространств, предложенные О. Г. Смоляновым и Е. Т. Шавгулидзе, а также
A. Ю. Хренниковым. Эти модели обобщают на бесконечномерный случай модель суперпространства предложенную В. С. Владимировым и
B. И. Воловичем в [7].
Далее приводятся необходимые для дальнейшего изложения определения.
Напомним, что линейное пространство Е, представимое в виде прямой суммы Е = Е называется Z2-гpaдyиpoвaнным. Элементы пространства Ео называются четными, а Е — нечетными.
Определение 0.1. Супералгеброй называется градуированное пространство А = Л0ФЛ1, на котором введена структура ассоциативной алгебры с единицей и четной операцией умножения (т.е. произведение двух четных или двух нечетных элементов — четный элемент, а произведение четного на нечетный — нечетный элемент).

Следствие 1.1. Ядро оператора суперпреобразования Фурье Яд равно нулю.
Доказательство Пусть у Е ЯегЯд, тогда для любого £ £ Но функция 5*. ()), определенная на Ндх, тождественно равна нулю. Значит
||Я((Я/1)(£)) ||я(яЛх) = 0 и, в силу теоремы 1.1, при каждом £ из Но норма меры (Яд)(£) также равна нулю: ||(Яд)(£)||Д(§)дя1 = О, V* 6 Я0. Это означает, что р. принадлежит ядру КегР классического преобразования Фурье супермеры р. В силу того, что в Но выполнено аппроксимацион-ное свойство (см. [44]), ядро классического преобразования Фурье равно нулю. Значит р = 0 и следствие доказано.
1.5 Аналог теоремы Минлоса-Сазонова для супермер
В этом параграфе формулируется и доказывается аналог теоремы Минлоса-Сазонова для супермер.
Определение 1.6. Цилиндрической супермерой в суперпространстве Яд называется А<£>(/ Н-значнал цилиндрическая мера в пространстве Но (см. [40]).
Определение 1.7. Функцию / из Я(Яд) назовем суперцилиндрической, если сужение (!?/)() на прострагьство Но является цилиндрической функцией.
Функция : Яд —> Л является суперцилиндрической, поэтому
для цилиндрических супермер суперпреобразование Фурье корректно определяется равенством (1.5).
Напомним определение топологии Сазонова, ассоциированной с сильной топологией гильбертова пространства.
Пусть (, ) — скалярное произведение в гильбертовом пространстве и норма в нем задается равенством || || = (, )£. Тогда топология Сазо-