Структурные и линейно-метрические свойства максимальных F - алгебр голоморфных функций в полуплоскости

• Автор: Ефимов, Дмитрий Александрович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2007
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 69 с. : ил.

Сокращения и обозначения

гл. — Глава II. — пункт разд. — раздел стр. — страница

N — множество натуральных чисел Z — множество целых чисел Z_|_ — множество неотрицательных целых чисел Ж — множество действительных чисел Ж+ — множество неотрицательных действительных чисел — множество положительных действительных чисел С — множество комплексных чисел Б — {г — х + іу Є С | у > 0} — верхняя полуплоскость и — открытый единичный круг комплексной плоскости С Т — граница единичного круга и

| • | — абсолютная величина комплексного числа

М/{х) — вир |/(ж + гу) — вертикальная максимальная функция у> о

1п+ — неотрицательная часть натурального логарифма неотрицательного действительного числа, равная 1п+а = тах(1па, 0), если а > 0, и 1п+ а = 0, если а

/+ — функция радиальных пределов функции /, определенной в области В

Р — ядро Пуассона в области В

А — пространство функций, голоморфных внутри и непрерывных на замыкании области В

1п ЬЯ(Щ — класс функций /, для которых выполняется неравенство +00

/ 1п9(1 + |/(ж)|) (1х < +0О

НР(В) — классы Харди голоморфных в области В функций /, для
+00
которых вир / |/(ж + {у)р(1х < +00, р > О
2/>0
Н°°(В) — класс функций, голоморфных и ограниченных в области В
Ьр(Х,р) — класс измеримых функций / на пространстве X с мерой р, для которых интегрируема р-ая степень модуля / для О < р < +оо
Ь(Х, р) = Ь1(Х, р) — частный случай классов р) при р
Мд(В) — классы голоморфных в области В функций /, для кото-

рых / 1п9(1 + М/(х)) (1х < +оо, ^ > О

Nq(D) — классы голоморфных в области D функций /, для кото-
+00
рых sup / ln?(l + I f(x + iy)I) dx < +00, q >
9t(.D) — класс Крылова голоморфных в области D функций /, для
+оо
которых sup / 1п+ |f(x + iy)dx < +00
у>0
|| * Ця? — стандартная характеристика функций класса HP(D)
II • ||я°° — стандартная характеристика функций класса H°°(D)
II • IIlp(a» — стандартная характеристика функций класса І/(Х, ц) || * ||мч — стандартная характеристика функций класса Mq(D)
II • Wni — стандартная характеристика функций класса Nq(D) aq = min(l,l/q),q> О
Php — стандартная инвариантная метрика в классе HP{D) рмч — стандартная инвариантная метрика в классе Mq(D) pN'i — стандартная инвариантная метрика в классе Nq(D)

в метрике пространства Lq(Е). Тогда, согласно [18, гл.Ш, §3, п. 6], последовательность {дПк} сходится к функции /+ по мере /х. Таким образом, относительная компактность множества {/+ | / Е L} но мере /х проверена.
Докажем выполнение условия (в). По определению вполне ограниченного множества, для произвольного числа е > 0 в Mq(D) существует конечное множество функций {h,/iir} С Mq(D), обладающее свойством: для каждой функции / € L существует номер n, 1 ^ п ^ N, что ||hn - /\mq < ^/(4 • 3?). В силу принадлежности каждой функции hn, 1 ^ n ^ N, классу Mq{D) существует такое положительное число А 6 К, что неравенства
—А +оо
J ln?(l + Mhn(x)) dx + J lng(l + Mhn(x)) dx <
-oo A
справедливы для всех n G N, 1 ^ n ^ N. Представляя
M = K ~ (hn ~ /)|, 1 ^ n ^ N, и используя элементарное неравенство
1п«(1 + а- 6|) ^ ЗД1нД1 + |о|) + 1пД1 + |Ь|)), (II-7)
получаем оценки