Базисы из экспонент в весовых пространствах на конечном интервале

• Автор: Пухов, Станислав Сергеевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 68 с.

Содержание
Введение

Глава 1. Системы экспонент, порождённые нулями преобразования Фурье

1. Вспомогательные утверждения

2. Теорема о базисе из экспонент

Глава 2. Специальные системы экспонент, синусов и косинусов

1. Системы (е^п+д^

2. Системы (знфп + Д)1) и 1 и (соз(п + ЛД), гг € N

Глава 3. Системы экспонент, порождённые нулями преобразования Фурье — Стилтьеса

1. Формулировки результатов

2. Лемма о расходимости обратного преобразования Фурье

3. Доказательство теоремы 3.
4. Доказательство теоремы 3.
5. Доказательство теоремы 3.
Глава 4. Обобщения некоторых известных результатов о системах экспонент на случай пространств
1. Системы экспонент с порождающей функцией, удовлетворяю-
щей Ар- условию
2. Полнота систем экспонент
Список литературы

ВВЕДЕНИЕ
Настоящая диссертация является исследованием в области негармонического анализа— направления, изучающего аппроксимационные свойства (базисность, полноту, минимальность и т. п.) систем экспонент общего вида
в функциональных пространствах на копечном интервале вещественной оси (в отличие от анализа гармонического, изучающего исключительно свойства тригонометрической системы (eint),n € Z). Результаты диссертации посвящены, в основном, базисам из экспонент в лебеговых пространствах с весом в виде конечного произведения степенных функций.
Негармонический анализ начался с книги Р. Пэли и Н. Винера [26] (1934). В дальнейшем вклад в его развитие внесли Н. Левинсон, Л. Шварц, Ж.-П. Кахан, А. Бьёрлинг и П. Мальявен, П.Кусис, Б. Я. Левин, А. Ф. Леонтьев, Р. Редхёффер, Р. Янг, В. С. Павлов, А. М. Седлецкий, Н. К. Никольский,
С. В. Хрущёв, А. М. Минкин, В. А. Ильин, Е.И. Моисеев и многие другие математики.
Пэли и Винер рассматривали базисы Рисса в L2(—7Г, я) вида
как возмущение тригонометрической системы, т. е. при определённой близости точек А„ к целым п, а именно, при условии эир |АП — п < І/я2, Хп Є М. В этом направлении окончательный результат получил М. И. Кадец [3[: если
то система (0.2) образует базис Рисса в А2(—я, я), причём постоянная 1/4 точная.
Тем временем естественным образом возник вопрос о критерии базиса Рисса вида (0.2) в L2(—я, я), требовавший более общего подхода к изучению систем экспонент. Важной вехой здесь явились работы Б. Я. Левина [4] и [5], предложившего задавать условия на последовательность (А„) через т. н. порождающую функцию. Приведём определение этого понятия сразу для системы (0.1).
Целая функция экспоненциального типа называется порождающей функцией системы (0.1) на интервале (—а, а), если
1) множество её нулей совпадает с {А„},
2) каждый нуль А„ имеет кратность гпп и
3) индикатор функции равен а| sin в.
(0.1)
(еа"г), А„ Є С, п Є Z.
(0.2)

Напомним, что по определению целая функция L(z) имеет экспоненциальный тип,если
ЭМ > 0 : |Ь(г)| ^ ехр(М|г|), z > const, а индикатором такой функции называется величина
hi(6) = lim sup
Г—>-{-
где р — порядок функции L(z).
В работах [4] и [1] в качестве порождающей выступала функция, получившая название функции типа синуса. Это целая функция, удовлетворяющая условию
Cie“'1“2! < L(z) ^ С2еа1Гтг', Си С2> О, I lmz ^ const.
Последовательность Л называется отделимой, если
inf Am| ^ 0.

В статье [4] доказано, что если порождающая функция системы е(Л) является функцией типа синуса и последовательность Л отделима, то система образует базис L2{—а, а). В. Д. Головин [1] дополнил этот результат, доказав наличие базиса Рисса в этом случае.
Отметим (см. [18], §6.1, т.1 и § 1.3), что отделимость последовательности Л, а также (для последовательности, лежащей в горизонтальной полосе | ïmz < h) условие sup тп < +оо необходимы для базиса системы е(Л).
Критерий базиса из экспонент для случая последовательности Л, лежащей в горизонтальной полосе, был найден Б. С. Павловым [9] в 1979 г. Говорят, что неотрицательная функция д{х) удовлетворяет условию, 1 < р < оо, если
Æ (irbf }ф) *) (ahn < +”■
Будем в этом случае писать д(х) € Ар.
Теорема А (Павлов). Пусть последовательность (Л„) отделима и для некоторого h G Ж+ и всех п верно I Im Лге[ ф h. Тогда система (0.2) образует базис Рисса в L2(—a,a) тогда и только тогда, когда
ЭН > h : L{x + гН)2 £ А2,
где L(z) — порождаютая функция систелш (0.2).
|L(re )|

Применяя (1.5) с р — 1 — Re /3 — є, р = 1 — Re (3 + evicp — l — Re /З, завершим оценку if+: _ „ „
к},< СдІІЛІ ( Je',]v]'î~''’l3~‘(hy)edv + jе"|и|5" "'"!,'Uhyy‘dv +
ОО —on /

1 _ p-hy г і /jl—Re/
+ CHI/ll^илгвг JеЛт|Г >-"* V^ c|| лі^.

Таким образом, оценка (1.16) нами полностью доказана:
Щх + гУ)^С —щ ^ |^|1/5|ж|1-Й.е/3 ’ 1Ж1 > х°' М > у > 0. (1.32)
В случае отрицательных у имеем (см. (1.12))

Г (г) = * Уе іг<(/ * дШ М = і J * у) (—і) і
0 -2а

= і уе-‘+№((і?/)*(%))(і)^ (Д/)(*) = /(-*), №)(*)-УН)-

Повторив предыдущие рассуждения, начиная с формулы (1.12), с заменой ж на —ж, у на |у|, / на /?/ и у на і?у, получим оценку (1.32) с заменой ||/|| на равную ей норму функции Я/ в пространстве ІР((—а, а),и(—і) сИ). Итак, оценка (1.32) справедлива при 0 ф |у| ^ |ж|, |ж| > хо. Но она верна и при |ж| < жо в силу формулы (1.12) и леммы 1.1:
Р(2) < I!/* У||Хг1(—2а,2а) = Ц/ЦьЦ-а^ЦуЦдЦ-а.а) < С'оІІ/Ц < '
А так как |ж| ^4- в секторах |<9 ± || ^ |, 0 ^ 0,7г (г = гегЄ, 9 Є (—7Г, 7г]), то
с'Н/П

|2/1—йб/3 ’
Итак, основная трудность, состоявшая в получении оценки (1.33), преодолена. Дальнейшие рассуждения уже легко идут по схеме доказательства невесового аналога теоремы 1.1 (см. [18, §8.3]).
Из оценки !F(z)| <. СоЦ/11 следует ограниченность F(z) в полуплоскостях Imz ^ 0. Значит, функции F(z) имеют нулевой порядок в углах
| в ± 7г/2| < 7г/4. В силу (1.33) на границах этих секторов они ограничены константой 6711/11. По теореме Фрагмена-Линделёфа эти функции ограничены в этих секторах той же константой, т. е.
№)1 ^ С11/Цz-V4-i+**Pt | у±7Г/2| <7Г/4.