Однородные вещественные гиперповерхности пространства C3

• Автор: Нгуен Тхи Тхуи Зыонг
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2012
• Место защиты: Воронеж
• Количество страниц: 109 с.

Оглавление
Введение

Глава 1. Схема изучения аффинно-однородных

гиперповерхностей трубчатого типа в С3

1.1. Канонические уравнения поверхностей трубчатого типа в С3

1.2. Различные подходы к понятию однородности

1.3. Оценка размерности алгебры д(М) для однородных поверхностей трубчатого типа

1.3.1. Компонента веса 2 основного тождества

1.3.2. Компонента веса 3 основного тождества

1.4. Примеры аффинно-однородных поверхностей трубчатого

типа с "богатыми" алгебрами д(М)

1.5. 5-мерныс алгебры, отвечающие однородным поверхностям трубчатого типа
1.6. Коэффициентные запреты па размерность алгебры д(М)
1.7. Описание однородных поверхностей
с "богатыми" алгебрами д{М)
Глава 2. Аффинно-однородные поверхности трубчатого
типа с 5-мерными алгебрами д(М)
2.1. Вычислительная схема описания матричных алгебр
2.2. Случай многочлена Гз с нетривиальной «-компонентой
2.2.1. Упрощение вспомогательной системы
2.2.2. Случай ф
2.2.3. Случай t Ф
2.3. Случай пулевого многочлена
2.4. Случай чисто мнимых коэффициентов Гз
2.5. Общий случай многочлена Гз
2.5.1. Аффиипо-одиородпые трубки
2.5.2. Решение вспомогательной системы при п4
2т5тЗ~Изучс11ис~вспомогател151юй-системы-при-п-4--0
2.6. Интегрирование алгебр
2.6.1. Непосредственное интегрирование системы уравнений
2.6.2. Использование подобных алгебр при интегрировании
2.6.3. Использование экепопенциалыюго отображения

Глава 3. Голоморфные свойства аффинно-однородных
поверхностей
3.1. Сферические гиперповерхности пространства С3
3.2. Нормальная форма Мозера для уравнения
жесткой поверхности
3.3. Семейство голоморфно различных аффинно-однородных вещественных гиперповерхностей
Литература

Введение
В одномерном комплексном анализе хорошо известна классическая теорема Римана. Согласно этой теореме любая односвязная область с "большой" границей голоморфно эквивалентна единичному шару.
Известно, что в случае нескольких комплексных переменных аналогичное утверждение не верно.
Одной из причин этого является голоморфное различие границы произвольной области в пространстве СП(п > 1) и сферы. Более того: две произвольные вещественные гиперповерхности пространства С”, как правило, не сводятся голоморфными преобразованиями друг к другу. Это утверждение справедливо даже в локальном варианте. Как следствие, два ростка одной и той же поверхности (даже связанные с близкими ее точками) оказываются, как правило, различными с голоморфной точки зрения.
В такой ситуации оправданным является интерес к "исключительным" гиперповерхностям, которые являются "одинаковыми" во всех своих точках, или (в более строгих терминах) однородными относительно голоморфных преобразований.
Напомним, что согласно определению из [ 13] многообразие М называется однородным относительно некоторой группы (преобразований) С. сели эта группа транзитивно действует на М, то есть любую точку из М можно перевести в любую другую точку обсуждаемого многообразия подходящим преобразованием из группы С. В разных ситуациях возможны уточнения приведенного понятия однородности. В качестве простейшего и интуитивно понятного примера многообразия, однородного в различных смыслах (относительно различных групп), можно назвать единичную окружность в комплексной плоскости. На ней транзитивно действует, например, группа поворотов.
Основными объектами в нашей работе являются аффинно-однородные и голоморфно однородные вещественные гиперповерхности 3-мерного комплексного пространства С3. Точные определения этих понятий приведены в начале первой главы диссертации. Здесь же. на. уровне "наивного" представления об основном предмете исследования, мы кратко опишем ситуацию с классификацией однородных многообразий, сложившуюся к настоящему времени.
История вопроса. Полное описание аффинно-однородных плоских кривых было известно уже в начале прошлого века. Его связывают с трудами школы В. Бляшке |7|.
ТЕОРЕМА 0.1. Любая плоская шМтпно-однородная кривая аффинно
эквивалентна вблизи произвольной своей точки какой-либо одной из следую-щего списка аффинно-различных кривых:
1) у = х3 (—1 < 5 < 1), 2) у = 1п,т, 3) у = дПп.т.
4) г = еа{р (г — полярный радиус, у? — полярный угол, а > 0).

Подставляя сюда выражения а, А,В из формул (1.27), (1.28), получаем формулу для вещественной части параметра Л3:
А31 = ЯвірЮ001 (р, 5, д) = <р{р, в, д).
Аналогично, в типе (0,1, 0. 0,1) имеем:
Дзі = Де(оіооі(р,5>д) = (р,5, д).
Объединяя четыре отдельных формулы в две, получаем требуемое в предложении 1.6 утверждение. Предложение 1.6 доказано.
Предложения 1.5 и 1.6 дают требуемую в теореме 1.2 информацию об элементах матрицы (1.15) или, что то же самое, о параметрах векторного поля Z) касательного к аффинно-однородной поверхности (1.6). Все они выражаются некоторым образом через семг, вещественных параметров этого поля. Эти параметры - {р, в, д, С, Ац).
Но для однородной поверхности выполняется условие (ііпґіЕ.д(М) > 5, поэтому теорема 1.2 доказана.
1.4. Примеры аффинно-однородных поверхностей трубчатого типа с "богатыми" алгебрами д(М)
Одной из целей нашей работы является нахождение аффинно-однородных поверхностей трубчатого типа, не являющихся трубками. Но здесь мы рассмотрим некоторые примеры трубок, которые играют важную роль в дальнейшем.
Пример 1.2. Трубка над параболоидом
Я/г _ Г„. _ |„ |2 , |_ |2 I I л , — 2 , — 2М _ Г„, _ о „.2 , о „.21 П 7
,н — — |~1| "г Щ2| -г "г ~2 ~г -Г г "'I П ~ 1Ж — 1 "'2)
Несложно проверить, что па этой поверхности действуют следующие однопараметрические группы движений:
+ й!
2% = Х2 -вещественный СДВИГ ПО переменной 21 (в! £ К)
ги* = ю + Агвг + и аналогичный сдвиг по

г = tz2 -одновременное растяжение по всем перемепьгм (£ 6 М+); ги* = £2К2,
г = С05(д2х + втрг?
= —эгпдзгх + соэ<рг2 -поворот на угол (р (гр £ [0,27т]) в плоскости ги* = ги,