Равномерное приближение непрерывных функций многих переменных

• Автор: Горбачев, Дмитрий Викторович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1998
• Место защиты: Тула
• Количество страниц: 80 с.

СОДЕРЖАНИЕ
Основные обозначения
Введение
Глава 1. Экстремальные значения функционалов на классах функций многих переменных
§1. Простейшая экстремальная задача на классе (Раь)
§2. Представление величины £(ф, НРаь)) в перестановках
§3. Экстремальные задачи на классах Липшица (-Раб)
Глава 2. Равномерное приближение непрерывных периодических функций многих переменных
§1. Точная верхняя грань норм функций из класса ГТціїІГ'1
§2. Уклонение линейных угловых методов на классе Нп}
§3. Уклонение угловых методов Фавара на классе
§4. Приближение класса Липшица квадратными суммами Фавара
Литература

ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
N — множество натуральных чисел, Ъ — множество целых чисел, Ъч — {0,1
Мга = {и = (иг
а,Ь £ Мп, Раь = [<21, Ьх] х ... х [ап, Ьп — п-мерный прямоугольник;
С(Раъ) — множество непрерывных действительных на Раь функций;
г(г) - модули непрерывности;
Н1П)(РаЬ) = {/ Е С(Раъ) /(х)-/(у) ЕГ=1(1-Уг|), Х,у £
-Раб};
а < 7 < /3, Уу[а, (3] — множество суммируемых на [а, /3] функций <р(£), удовлетворяющих условиям: тр(Ь) > 0 почти всюду на (а, у), срД) < 0 почти всюду на (у, /3), тр({) М = 0;
с Е Раб, К-Раб) = {ф(х) = ПГ=1 ФФХФ ф{ £ У* [<*», &*]};
Е(ф,НРаЬ)) = вир{| г/>(ж)/(ж)оЬ| : / Е яЕ}(Раб)};
Ф% е ~ функции, определяемые на [арС;] по-
средством равенств: /цХг гДД;) <Рг
в{Ф) = (Оь) : *
/(£, [ск, /3]) = тгг : тез{х Е [а, /3] : |/(ж)| гг} — невозра-

стающая перестановка |/| на [a,ß, mes А — мера множества А; /-1(£) — обратная функция к /;
Ци{Раь) = mineOi(bi - ai)
А е К”, А,> О, Нрл) = {/€ : |fix) - f{y) <
E”=1 - Уг I) У € -Раб} — класс Липшица;
Я G N, Уд [a, /3] = {<£>(£) : (—1)к(р G [a + jk,a + д( Р -01’ к — 0,1
TV G Nn, V(Pab) = {ф(х) = nr=ilM*i) : V** 6 VjVita*, b»]};

) = J2k=o ф( [« + + -{k + 1)]) — S-перестановка Корнейчука |Ф| на [a,/3];
/ > 0, [0, l]n — н-мерный куб;
Я(п)([0,/]п) = {/ G С([0,/]п) : |/(ж) — /(2/)| < Ег”=1 l*i-2/il, G
PU]”};
й G N, Л ) 2, Vn)([0,/]n) = {ф{х) = П?=1»(®») : >
0 почти всюду на [0, ], jlJR ффхф dx, = 1, ф{ G Уд-i, /]};
Тп = [—7Г, тг)п — n-мерный тор;
С(Тп) — пространство непрерывных 2л-периодических по каждой переменной действительных на Тп функций /(ж) с нормой ||/||с = sup |/(я)|, х G Тп]
HLn) = HLn)(Tn), = Н{Тп), Я(") = НпТп)-
q G N, jBq(i) = y Efcli cos{kt - Ц2-) — ядро Бернулли;

в силу (1.10), (1.11) aSk < xSh cSk, xSk+1 = Q(lSk+1sk{xSk))- Отсюда и из (1.17)
f(x,S,I) - /(*,£',-Г) = (-1)|3ьП,|(Л(,Л)-
fk+1 (-Sfc+i j fc+1) "b fk{Xsit+n fc) fk+1 і й+І))
.3) Если sk e /, sk+i <£ I, TO
|5fc П I + 1 = Й П I| = |5*+і П I| + 1 = Й+1 П I + 1,
в силу (1.10), (1.11) cSk < xSfe < bSk, xSk+1 = /Sfc+lSfc(£>-1(xSfe)). Отсюда и из (1.18)
Дх, S, I) - f(x, S’,I) = (-l)l5*n'l (f„{Xn, Sk)+
+ l(x
Sfe + l
'Sfe+l) 4~ fk(xSk+1,Sk) fk+l{xsktk+l))
4) Если sk Є I, sk+1 Є /, то
|5* П /| = & П J| = pfc+1 n I + 1 = Й+1 n I + 1,
в силу (1.10), (1.11) cSfe < xSfe 6Sfe, :rSfc+1 = Sfe+lSfe(-1(®Sfe))). Отсюда и из (1.19)
f(x,S,I)- /(х,#,I) = (-1 fhnIfk(x$t,
~ fk+1 (sji+i. Д+1.) — fk(xSk+1. fc) + Д+1 (x5Js, 5fc+1)) = 0.
Непрерывность /*(х) доказана.
1.5. Принадлежность экстремальной функции классу
НгРаь)' Покажем, что если
X — (зд, . , ЗД, . , 3?п) Є Pabj
X = (зД

|/*(ж) - /*(ж')| wfc(|zfc - a4|).
Возможны следующие случаи расположения точек ж, ж':