Пространство почти сходящихся последовательностей и банаховы пределы

• Автор: Усачев, Александр Сергеевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Воронеж
• Количество страниц: 93 с. : ил.

Оглавление
Введение
Общая характеристика работы
Краткое содержание работы
Предварительные сведения
1 Пространство почти сходящихся последовательностей
1.1 Тауберова теорема для почти сходимости
1.2 Расстояние до пространства ас
1.3 Случаи линейности функционалов р(х) и д(х)
1.4 Вычисление расстояния до подпространства ас
1.5 Банаховы пределы от выпуклых функций
2 Операторы в пространстве почти сходящихся последовательностей
2.1 Оператор повторения
2.2 Сходимость по Чезаро
2.3 Оператор усреднения по подпоследовательности
3 Примеры почти сходящихся последовательностей
3.1 Пример почти сходящейся и не почти периодической последовательности
3.2 Функциональные последовательности

4 Коэффициенты Фурье-Хаара
4.1 Основные определения
4.2 Коэффициенты Фурье Хаара функции из Ьр>00
4.3 Коэффициенты Фурье-Хаара функции из Lip
Введение
Общая характеристика работы
Актуальность работы. В 1932 году С. Ванах изучил некоторое множество линейных функционалов на пространстве ограниченных последовательностей, совпадающих с обычным пределом на множестве сходящихся последовательностей. Впоследствии эти функционалы были названы банаховыми пределами. Их изучение было продолжено в работах Г.Г.Лоренца, Г.Даса, Л.Сачестона, У.Ф.Эберлейна и других математиков.
Используя банаховы пределы, Г.Г.Лоренц ввел понятие почти сходящихся последовательностей. Почти сходимость определяет некоторый метод суммирования последовательностей, который не является матричным. Изучению и обобщению понятия почти сходимости посвящен ряд работ Р.А.Раими, З.У.Ахмада, Мурсалена, Г.Беннета,
Н.Дж.Калтона, Д.Хаджуковича, М.Крюппеля. Особый интерес представляет изучение класса операторов, относительно которых пространство почти сходящихся последовательностей инвариантно.
Банаховы пределы находят широкое применение в различных областях. Так в работах С.Лорда, А.Л.Кери, Дж.Филлипса, П.Г.Доддса, Б. де Пагтера, Е.М.Семенова, А.А.Седаева, Ф.А.Сукочева они применяются для изучения следов Диксмье, которые, в свою очередь, находят применение в некоммутативной геометрии А.Конна. Примене-

1.3 Случаи линейности функционалов р(х) и д(х)
Теорема 10 Пусть хх,х2 € До- Равенство р(хх + х2) = p(®i) + р{х2) выполняется тогда и только тогда, когда существует банахов предел В0, такой что Ва(х) = р{хi) и Во{х2) = р(х2).
Доказательство. Необходимость. Пусть р(хх +Ж2) = р(х)+р(х2). Так как, по теореме Л.Сачестона [15], для любого х € /со существует банахов предел Во, такой что Во(х) = р(х), то
р(х 1 + х2) = Во(х 1 + Ж2) = Во(хх) + Во(х2).
Таким образом, Во(хх) + Во{х2) — р(х 1) + /фжг). Учитывая, что для любого ж S loo и любого банахова предела В верно неравенство В(х) <р(х), получаем требуемое.
Достаточность. Пусть существует банахов предел В0, такой что ВоЫ) =р{хх) и Во(х2) =р(х2). Тогда
р(хх)+р(х2) = В0(х1) + В0(х2) = в0(хх + х2) < р(х 1 + х2).
В силу выпуклости функционала р,
р{х + х2) <р(х 1) +р{х2).
Таким образом, р(хх + х2) = р(х 1) + р(х2).

Очевидно, что аналогичное утверждение справедливо для функционала q.
1.4 Вычисление расстояния до подпространства ас
Рассмотрим функционал г : /<*, —> М+, определенный следующим образом: г (ж) = р(х,ас).