Формулы Грина в теории эллиптических комплексов

• Автор: Шлапунов, Александр Анатольевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Красноярск
• Количество страниц: 294 с.

1. Формулы Грина и Пуассона
'« 1.1. Предварительные сведения
1.1.1. Функциональные пространства
1.1.2. Эллиптические комплексы и их параметриксы
1.1.3. Формула Грина для эллиптических операторов
1.1.4. Формула Грина для эллиптических комплексов
1.2. Формулы Грина и Пуассона на многообразиях с трещинами
1.2.1. Пространства Соболева на многообразиях с трещинами
1.2.2. Теория Ходжа задачи Дирихле на многообразиях
с трещинами
1.2.3. Формулы Грина на многообразиях с трещинами
1.2.4. Следствия для эллиптических комплексов
1.3. Формулы Грина и Пуассона в пространствах распределений
1.3.1. Формулы Грина и слабые граничные значения решений конечного порядка роста
1.3.2. Формула Пуассона в пространствах распределений
1.3.3. Пространства Харди
, 1.3.4. Слабые граничные значения касательной и нормальной составляющих сечения
2. О задаче Коши для эллиптических систем
2.1. Базисы с двойной ортогональностью
2.1.1. Операторные уравнения I рода
2.1.2. Задача об ’’аналитическом” продолжении
2.2. Задача Коши в пространствах распределений
2.2.1. Теорема единственности
к 2.2.2. Сведение к ’’квадратным” системам
2.2.3. Сведение к задаче об ’’аналитическом” продолжении121

2.3. Задача Коши в пространствах Соболева
2.3.1. Условия разрешимости
2.3.2. Формула Карлемана
2.3.3. Замечание о ’’квадратных” системах
2.4. Примеры
2.4.1. Примеры для оператора Лапласа
2.4.2. Примеры для системы типа Ламе
2.4.3. Операторы Дирака
3. Итерации интегралов Грина и их приложения
3.1. Итерации самосопряженных операторов и их применение
3.2. Об итерациях интегралов Грина в пространствах Соболева
3.2.1. Об итерациях интегралов Грина для эллиптических операторов
3.2.2. Замечание об операторах с постоянными коэффициентами
3.2.3. Следствия для эллиптических комплексов
3.2.4. Об итерациях интегралов Грина в других пространствах
3.3. Задача Коши для эллиптических комплексов
3.4. Смешанные задачи для лапласианов
3.5. Примеры для операторов Дирака
4. Двойственность в пространствах решений
4.1. Двойственность и воспроизводящие ядра
4.2. Двойственность для решений конечного порядка роста
4.2.1. Спаривание в пространствах Харди
4.2.2. Спаривание в пространствах Лебега
4.2.3. Двойственность Гротендика
4.2.4. Об одном очень специальном спаривании в пространствах Соболева
4.3. Двойственность для решений произвольного порядка роста253
4.3.1. Спаривание в пространствах Харди
4.3.2. Спаривание в пространствах Лебега
4.3.3. Двойственность Гротендика
4.3.4. Об одном очень специальном спаривании в пространствах Соболева
Литература

После интенсивного развития в 60-х - 80-х годах прошлого столетия, в теории дифференциальных комплексов остался целый ряд важных нерешенных проблем. В их число входят такие известные задачи теории дифференциальных операторов, как нахождение условий (локальной) ацикличности комплексов с гладкими коэффициентами, описание когомологий комплексов с вещественно аналитическими и постоянными коэффициентами в наперед заданных областях, а также задачи Коши и Неймана для эллиптических комплексов в различных постановках. Более или менее удовлетворительные ответы на эти вопросы были даны для таких классических комплексов, как комплексы де Рама и Дольбо (или, более общо, для комплексов Кошуля; подробнее см. книгу [60]).
Давно замечено, что существует глубокая взаимосвязь между теорией эллиптических комплексов линейных дифференциальных операторов и комплексным анализом. В частности, комплекс Дольбо - это и важный пример эллиптического комплекса и, в то же время, инструмент для исследования свойств более общих комплексов. Хотя некоторые результаты из комплексного анализа не распространяются на произвольные эллиптические комплексы, имеет смысл проследить те идеи и методы, которые имеют подходящее толкование в общей теории.
Учитывая серьезные продвюкения, сделанные при изучении комплекса Дольбо методом интегральных представлений, актуальность распространения этого метода на произвольные комплексы дифференциальных операторов не подлежит сомнению. Именно по этой причине

таких форм. Тогда операторы 21, являются эллиптическим, а лапласианы А; = 21*21; с точностью до постоянного множителя совпадают с 1щА^2п где 1к - единичная (к X &)-матрица. Возьмем в качестве левого фундаментального решения оператора 21,- ядро К^гХ) = (^1{)с^2п(С _ 2)> гДе <Р2п - стандартное фундаментальное решение оператора Лапласа в К2", а С,г е Сп. В этом случае на сечениях, достаточно быстро убывающих в бесконечности, мы имеем — Ф,Л,-_1,
а значит А1_г + = Ах-хТр ' . В частности, формула Грина
(1.1.17) для 21г- есть несколько иная форма записи хорошо известной формулы Мартинелли-Бохнера-Коппельмана для комплексных дифференциальных форм (см., например, [11] или [6] или пример 3.5.5 ниже).
Пример 1.1.20. При А > 0, ц > 0 оператор Ламе из примера 1.1.14 легко факторизуется. В самом деле, пусть д$ обозначает щ. Рассмотрим следующую систему А^> в

f2jidx

/А9і

л/Щід2
лДд2

Л<3>
Г (п = 2 или п = 3):
( у/Щідх 0 0
0 л/Щ1д2
0 0 /2/і<9з
у/т у/Цді
у/Цдз 0 л/їіді
0 ч/Т^з у/ІЇд2
^ у/Хдх уДді у/Хдз і
с постоянными А > 0, /х > 0. Непосредственно проверяется, что (—(А^)*А^) = Очевидно, что последние строки легко исключить из рассмотрения, поскольку они есть линейная комбинация п первых, однако в таком виде оператор Л(") более удобен для рассмотрения смешанных задач в §3.4.
В этом случае 5(Л^, Л) состоит из (не всех!) полиномов первой степени, а порядок соответствующего оператора совместности Л[^ который обычно называют оператором Сен-Венана, не совпадает с порядком