Оценки для операторов типа потенциала с осциллирующими ядрами или символами и их приложения

• Автор: Карасев, Денис Николаевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Ростов-на-Дону
• Количество страниц: 107 с. : ил.

ГЛАВА 1. Lp—Lq - оценки для оператора Бохнера-Рисса и акустического

потенциала

§1. Вспомогательные сведения

п. 1.1. Обозначения

п. 1.2. О пространствах Фу и Фу типа П.И. Лизоркина

п. 1.3. Некоторые специальные функции и их свойства

п. 1.4. Об ограниченности одного оператора с осциллирующим ядром в Ьр

п. 1.5. Асимптотическое представление для некоторых интегралов

содержащих осциллирующую экспоненту

п. 1.6. Интерполяционная теорема Стейна-Вейса

п. 1.7. Об аналитичности интеграла по параметру

п. 1.8. О некоторых осциллирующих р — q - мультипликаторах
п. 1.9. Обращение акустического потенциала
п. 1.10. Об одном признаке принадлежности Ь
п. 1.11. Некоторые признаки принадлежности винеровскому кольцу.

§2. Ьр — Л3-оценки для оператора S"
п. 2.1. Ьр — Л?-оценки для оператора S", 0 < Rea < n
п. 2.2. Lp —> Дооценки для оператора S", 0 < Rea < п
§3. Ьр - Lq - оценки для оператора Бохнера-Рисса
§4. Lp - Lq- оценки для акустического потенциала
§5. Приложение оценок для акустических потенцилов к получению оценок для других операторов типа потенциала с осциллирующими ядрами.

п. 5.1. Уточнение оценок для оператора 5"
п. 5.2. Ьр - Ь(1 - оценки для оператора Щ
ГЛАВА 2. Ьр — Ьч оценки для операторов типа потенциала с осциллирующими ядрами и особенностями ядер на сфере и в начале координат.

§6. Об ^-характеристике одного оператора свертки с финитным ядром
имеющим особенность на единичной сфере в Еп
п. 6.1. Аналитическое продолжение потенциала ^ь<р)(х) и символа
оператора
п. 6.2. Переход к символу потенциала в слабом смысле
п. 6.3. Ьр — Ьч оценки для оператора МЦ
п. 6.4. Точность вложения (6.9)
§7. Об ^-характеристике одного оператора с особенностью ядра в начале
координат
§8. Оценки для операторов типа потенциала с осциллирующими ядрами
и особенностями ядер на сфере и в начале координат
п. 8.1. Ьр- Ьч - оценки для оператора (1)
п. 8.2. Некоторые частные случаи изменения параметров а,(3,7. 74 п. 8.3. Влияние осцилляции и особенностей ядра оператора Ка^п
на картину его ограниченности из Ьр в Ья
ГЛАВА 3. Приложения Ьр — Ьч оценки для операторов типа потенциала с осциллирующими ядрами к обращению и описанию образов этих
операторов
§9. Исследование символа оператора
п. 9.1. Равномерные оценки для А;"е(|£|) и представление для пре-

дельной функции *£(|£|) = Шп&££(|£))
п. 9.2. О преобразовании Фурье ядер т%{И),/2(|ф и Л(|ф
п. 9.3. Окончательное представление для символа &ад7(|£|)
п. 9.4. Переход к символу оператора К0^'1
п. 9.5. Об асимптотическом представлении символа /гад7(|£|) при
1^1 —»•
§10. Обращение потенциала / = Ка^,'1(р
§11. Описание образа Ка’Р,7(Ьр)
§12. Описание образа Ат(1/Р)
ЛИТЕРАТУРА

Замечание 4.3. Отметим, что до сих пор оставался открытым вопрос об ограниченности оператора Ау из Ьр в Lq, если
(1 /Р, 1/9) Є ([А В, G] U [D, В', G'}) ([В1, G'} U [В, G] U {D}),
при (п - 1)/2 < 7 < п + 1;
(1/р, l/g) Є ([D, В, N, £/] U [Д A, N U'}) ([.В, IV] U [A, A] U {Л}) при 0 < 7 < (п - 1)/2.
Теорема 4-1 разрешает этот вопрос (в случае 0 < 7 < 1 — частично) в следующих случаях:
(l/p, l/g) Є ((Д В, G) U (А A, GO и (А, А) п А(7, п),
при 1 ^ 7 < п + 1,7 Ф 2,4, • • • ;
(1/р, l/g) Є ((G1, К', D) U (G, К, D) U [К1, К}) n L3(7, n),
при 0 < Re7 < 1.
Кроме того, она охватывает случай комплексных значений параметра 7 (0 < Re7 <п + 1).
§5 Приложение оценок для акустических потенциалов к получению оценок для других операторов типа потенциала с осциллирующими ядрами
П. 5.1. Уточнение оценок для оператора 5“.
В этом пункте мы уточним Ьр - Lq - оценки для оператора 5“, полученные в теоремах 2.1, 2.2. Именно, справедлива следующая
Теорема 5.1. Пусть 0 < Rect < п. Тогда
C(SZ)DL(a,n). (5.1)