Распределение нулей функций из обобщённых пространств Бергмана и некоторые применения в теории аппроксимации

• Автор: Бирюков, Лев Николаевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2007
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 71 с.

Одним из важных и часто изучаемых вопросов в комплексном анализе является вопрос о распределении нулей аналитических функций из различных пространств. Хорошо известно, например, необходимое условие принадлежности функции пространствам Харди Нр (0 < р < оо), называемое условием Бляшке. Сформулируем его.
Пусть / — аналитическая в единичном круге Д = {х 6 С : г < 1} функция, и пусть {^1^0 ” последовательность нулей функции /, причём каждый ноль участвует в последовательности столько раз, какова его кратность. Будем считать, что последовательность {хп} упорядочена в порядке неубывания модулей:
Совокупность Z — {го, гх, г2.. ■} называется нулевым множеством функции /. Если функция / при этом принадлежит некоторому пространству аналитических функций, то множество 2 называют нулевым множеством этого пространства. Говорят, что аналитическая в единичном круге Д функция / принадлежит пространству Харди Нр = Нр(х < 1), 0 < р < оо, если
Если функция / принадлежит пространству Нр, то имеет место условие Бляшке (см., например, [6], [21], [22])

То же условие выполняется и для нулей функций, принадлежащих более общему пространству Неванлинны, состоящему из аналитических в единичном круге функций, удовлетворяющих условию

где к^+(ж) = тах(к^ж, 0).

С другой стороны, если последовательность {гп} удовлетворяет условию Бляшке (1), то следующая функция
(1)
тт гп гп х
“ *Г1- V'
00 I !

называемая произведением Бляшке, является ограниченной аналитической функцией на А (а следовательно, принадлежит всем пространствам ІУ, Нр, О < р < оо), нули которой, с учётом кратностей, есть в точности точки последовательности {^}.
Приведём краткий обзор характеристик нулевых множеств различных пространств.
Нули пространств Ма, состоящих из функций, удовлетворяющих условию
Этот факт доказан в работах Неванлинны [7] (в части необходимости условия (2)) и Ф.А. Шамояна [13] (в части достаточности).
Нули аналитических функций /(г), г £ Д с конечным интегралом Дирихле

описаны в работах Карлесона [18], Шапиро и Шилдса [27] и Когрена [19]. Нулевые множества аналитических функций /(г), удовлетворяющих условию
О свойствах нулевых множеств так называемых пространств Бергмана речь пойдёт ниже.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Пусть Ар (О < р < оо) — пространство аналитических в единичном круге А функций, таких что

Пространства Ар называются пространствами Бергмана.
Хотя пространства эти принято называть именем Бергмана, сам он не рассматривал эти пространства как таковые. Впервые они, и даже более общие
J og+f(z)(l-z2)adxdy <со, г = х + іу,

описываются похожим на (1) условием
(2)

рассмотрел Йевтич в [25].
< оо, р > 0, а
1№)11р = ^/ ї{г)?дхду <со, г = х + іу.

весовые пространства, по-видимому, были рассмотрены Джрбашяном в его работе [4].
Одними из первых, кто стал изучать нули функций из пространств Бергмана, были Шапиро и Шилдс. В своей статье [26] 1962 года они доказали, что если / Е Ар, то
пМ = 0(т~1о^Г~:)’
где п(г) — число нулей функции / в круге г < г.
Это утверждение равносильно следующему:
1-Ы = о(!2^, п ^ оо. (3)
Проследив доказательство Шапиро и Шилдс можно установить, что вместо символа О в правой части (3) можно написать константу 4/р, получив, таким образом, различные оценки типа (3) для различных р. Из этого, впрочем, не следует, что совокупности нулевых множеств пространств Ар различны при разных р. Доказал же этот факт Горовиц в своей работе [24], установив, тем самым, существенное отличие пространств Ар от Нр, обладающих общим для всех р, 1 ^ р < оо, условием (1) на нули. Наряду с этим, Горовиц показал, что объединение двух нулевых множеств пространства Ар, 0 < р < оо, является нулевым множеством пространства Лр/2, но может не быть таковым для пространства Ая, д > р/2.
Шапиро [28] распространил два последних утверждения на пространства аналитических функций /(^), г Е Д, удовлетворяющих условию
I (р(оё1{г))<1ц < оо, д
где Из уже упоминавшейся работы [24] Горовца вытекает, что
т п(1 — |zn|) 1 . .
Ьтвир— —^ -. (4)
„->00 10 £П Р
Следующий факт также доказан Горовцем. Если / € Ар, то для всякого £ > О
0° X
I]!1-Ы) [1о§тгт
При этом при £ = 0 утверждение неверно.

Проинтегрируем это неравенство по мере (1 /и) ■ l(l/u) du вдоль и > 0. Получим
llGHК,-!,,(*) = / j G{u A iv)ql^^-dudv <

< с / J 1Щ^-du
= c/|9(()|V-2
e-va4№)dudt

M-(_ IK-j.
По теоремам XI, XII на стр. 44 и 44 соответственно, и по лемме 1 на

l/qt
[ e-qutlS±M_ du „ f ljXH du = t-> 00, t-¥ 0. (73)
Juju

Следовательно, при t ^ T, t
[ е-чи tlOMdu^cc(t). (74)
J и
При To ^ t ^ T в силу отделённости от нуля функции £ имеет место аналогичное неравенство.
Так как С — убывающая функция, то C(qt) ^ £(£). Таким образом,
l№)IIU(0 <с J g{t)qtq-2c{t)dt = с||5Иц;л_2Д1А)
R_i_

ТЕОРЕМА 13. Пусть медленно меняющаяся в 0 и на бесконечности функция 1(х) ограничена и отделена от 0 на интервалах вида (а,Ь), 0 < а < b < оо и пусть С(х) < оо при 0 < х < оо, lim£(a:) = оо. Тогда если
G(w) € Aq_x >0), 1 < q ^ 2, то G(w) представима в виде
G{w) = f e~~wtg(t) dt, (75)
где g(t) Є Lqq_2 cm и
\g\q,q-2,cm ** с||(?(щ)||д_І!/(і), (76)