О существенной самосопряженности и совпадении минимальных и максимальных расширений некоторых дифференциальных операторов

• Автор: Гриншпун, Эдуард Зиновьевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Алма-Ата
• Количество страниц: 140 c. : ил

ГЛАВА I. О СОВПАДЕНИИ МИНИМАЛЬНЫХ И МАКСИМАЛЬНЫХ РАСШИРЕНИЙ И СУЩЕСТВЕННОЙ САМОСОПРЯЖЕННОСТИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ ПЕРВОГО И ВТОРОГО ПОРЯДКА В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ .... 27 § 1.1. О совпадении минимального и максимального расширении и существенной самосопряженности оператора первого порядка

с операторными коэффициентами

§ 1.2. О совпадении минимальных и максимальных расширений оператора Шредингера с операторным потенциалом в ... 46 § 1.3. О существенной самосопряженности и совпадении минимального и максимального операторов, порожденных дифференциальным выражением второго порядка с сильно сингулярным

скалярным потенциалом

Глава II. О СУЩЕСТВЕННОЙ САМОСОПРЯЖЕННОСТИ, СОВПАДЕНИИ МИНИМАЛЬНЫХ И МАКСИМАЛЬНЫХ РАСШИРЕНИЙ И РАЗДЕЛИМОСТИ НЕКОТОРЫХ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ
§ 2.1. Предварительные сведения. Свойства решений и функции Грина о,инородного уравнения Штурма-Лиувилля с положительным

потенциалом на ( ~ 00 ? + )

§ 2.2. О разделимости оператора Штурма-Лиувилля

§ 2.3. Замечание о существенной самосопряженности обыкновенного дифференциального оператора высокого порядка. . . .103 § 2.4. О совпадении минимального и максимального расширений для одного обыкновенного дифференциального оператора высокого порядка в 1,р(М)

§ 2.5. О разделимости нелинейного оператора Штурма-Лиувилля121 ЛИТЕРАТУРА

В связи с потребностями квантовой механики в последние тридцать лет возрос интерес к задачам о существенной самосопряженности симметрических дифференциальных операторов, что является принципиально важным при описании динамики квантовомеханических систем. В случае несимметрических операторов аналогом этих задач являются задачи о совпадении минимальных и максимальных расширений. Задачам о существенной самосопряженности, совпадении минимальных и максимальных расширений дифференциальных операторов посвящено большое количество работ советских и зарубежных математиков. В последнее время в Советском Союзе возрос интерес к указанному кругу задач для дифференциальных операторов с операторными коэффициентами в связи с многочисленными приложениями (в спектральном анализе операторов, в квантовой механике и т.д.). Вопросы совпадения минимальных и максимальных расширений дифференциальных операторов имеют весьма важное значение и в теории дифференциальных уравнений в частных производных при изучении свойств слабых решений.
В диссертационной работе получен ряд существенно новых достаточных условий существенной самосопряженности и совпадения минимального и максимального расширений операторов I и П порядка в частных производных и обыкновенных дифференциальных операторов высокого порядка со сколь угодно быстро растущими коэффициентами при старших производных. Рассмотрены также смежные вопросы разделимости для оператора Штурма-Лиувилля. Доказано, что оператор Штурма-Лиувилля (как линейный так и нелинейный) с положительным коэффициентом всегда разделим в
(~о<>? + оо) , тем самым найдено "естественное” пространство в задаче о разделимости оператора Штурма-Лиувилля.

Полученные результаты представляют само стоят ел ьшй интерес, а такке могут быть использованы в задачах квантовой механики, спектральной теории операторов в гильбертовых и нормированных пространствах, в теории дифференциальных уравнений в частных производных при изучении свойств обобщенных решений.
Результаты диссертационной работы доложены на УШ Всесоюзной школе по теории операторов в г.Риге, на семинаре по общей теории уравнений в частных производных при мат.-мех. факультете ЛГУ под руководством проф. С.Г.Михлина и проф.В.Г.Мазьи, на семинаре лаборатории численных методов решения задач математической физики под руководством акад. АН КазССР У.М.Султан-газина, на семинаре лаборатории прикладных методов анализа МММ АН КазССР с участием проф.Б.М.Левитана и проф.А.Г.Костю-ченко, на семинаре по теории уравнений в частных производных под руководством член-корр. АН КазССР Е.И.Кима и СНС С.Н.Ларина.
Автор приносит благодарность научному руководителю д.ф.-м.н., проф.М.Отелбаеву за постановку задач и внимание к работе.
Далее в пп.0.2 и 0.3 настоящего введения приводятся основные результаты диссертационной работы, проводится их обсуждение и: сравнение с известными результатами по данной тематике, а предварительно (в п.0.1) приводятся определения и известные результаты, которые нам понадобятся в дальнейшем.

0.1. К - /г -мерное евклидово пространство векторов X ЭСп,) С нормой I Х| = ( 2 I Хц.1г )/х, /її-1 -будем
обозначать просто /Я ( Я = (-Оо)+00)). Пусть Л - произвольное открытое подмножество Я*1 (возможно совпадающее с /Я ). Через /_,р(Я2),:Цр < оо? обозначим множество комплексно-

=< *Тц,%>х-<Ми, ?>x + UU, z i.((& .
' +• *• J-1 J J **•
Откуда
KW, -AU Q*(M I ^(iqii• -II full +
n -) (28)
+ IlMII, ■UIIS1-<-illl^.44L„liillt)4nwl. •
Следовательно, ( Шп;Н)сГ
и если A.U = ßj в смысле (27), то (т.к. СГО^М))

и предложение доказано.
Если у7 ё С.*” С/Яп) , то шрр( Ш) Q Supp У> , поэтому в

силу условия 10 ДЛЯ /и G DCT) и Я У £ СГ(Г) CSU) е Wd
откуда с помощью тривиальных рассуждений получается Предложение I.I2. Для /и е D(T)
S =i7^.
Предложение I.I3. Если 6/ ё 2> ( T ) , то для
v /ТT(Vu) = Aj -* Z (^FЖU) .
j=l J J
Доказательство предложения I.I3. Для Я f ^ Cv^C/P” 0,Н)
< - и, (~Л+ Q Ci)+2^U, 2С Эг ((^
> ? ■? jrijj
«?)>, ^<Я’Тч,<>}-<2 Z(&4)(^u)^y
Z j -4. о J -<
и утверждение предложения следует из финитности У7 , предложения I.I2 и определения Т’
Предложение I.I4. Пусть - ограниченная окрестность
точки Яп из условия 9. Для Я и е- CD (Т) такого, что