Перечисление накрытий трехмерных многообразий

• Автор: Шматков, Михаил Николаевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 176 с. : ил.

Оглавление
ВВЕДЕНИЕ

Глава 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ, КОНСТРУКЦИИ

И МЕТОДЫ

1.1 Фундаментальная группа и накрытия

1.2 Фундаментальные группы отдельных классов трехмерных

многообразий

1.2.1 Расслоения Зейферта

1.2.2 Евклидовы пространственные трехмерные формы

1.3 Подгруппы с наперед заданной факторгруппой

1.4 Транзитивные представления группы в Эп и ее подгруппы

индекса п
1.5 Мультипликативные функции и их основные свойства
Глава 2. ЦИКЛИЧЕСКИЕ НАКРЫТИЯ ОТДЕЛЬНЫХ
КЛАССОВ ТРЕХМЕРНЫХ МНОГООБРАЗИЙ
2.1 Вывод формул для подсчета циклических накрытий над
расслоениями Зейферта без особых слоев
2.1.1 Предварительные построения и результаты
2.1.2 Дальнейшие преобразования и вычислительные примеры

2.2 Вывод формул для подсчета циклических накрытий над евклидовыми пространственными трехмерными формами
Глава 3. ЦИКЛИЧЕСКИЕ НАКРЫТИЯ РАССЛОЕНИЙ
ЗЕЙФЕРТА
31 Вспомогательные обозначения и результаты
3.2 Расслоения Зейферта типа (О,о)
3.3 Расслоения Зейферта типов (О,n), (N,n,II) (N,n,III)
3.4 Расслоения Зейферта типа (N,o)
3.5 Расслоения Зейферта типа (N,n,I) '
Глава 4. ПОДГРУППЫ ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ ГРУПП
ТРЕХМЕРНЫХ ЕВКЛИДОВЫХ ФОРМ
4.1 Подготовительные результаты
4.2 Многообразия классов АД и АД
4.3 Многообразия классов АД, АД, АД и АД
4.4 Многообразия классов АД и Л/
4.5 Многообразия классов Л/2 и Л/
ЛИТЕРАТУРА

Посвящается моим Родителям — Отцу Николаю Карповичу и Матери Надежде Семеновне
Введение
Данная работа посвящена исследованию проблемы перечисления накрытий многообразий малых размерностей.
Начало систематическому изучению (разветвленных) накрытий римано-вых поверхностей, а в дальнейшем — и многообразий более высоких размерностей, было положено в классических работах А. Гурвица, относящихся к концу XIX века. Предпосылкой для таких исследований явилось то, что первоначально римановы поверхности определялись как разветвленные накрытия над расширенной комплексной плоскостью. Из такого определения, в частности, впервые была получена классическая формула Римана-Гурвица, связывающая род поверхности с родом ее накрывающей, а также с порядками и числом точек ветвления. Эта формула лежит в основе всех современных исследований по теории компактных римановых поверхностей.
При таком определении римановой поверхности последняя получается как результат склейки соответствующих берегов некоторого числа плоскостей с разрезами. Тем самым, число разветвленных нактрытий с фиксированным типом ветвления соответствует числу комбинаторных способов склейки таких плоскостей с разрезами.
В своей ставшей уже классической работе [72] А. Гурвиц в 1891 году определил производящую функцию для числа неэквивалентных накрытий заданной кратности над римановой сферой, имеющих заданное число простых то-

1,. .. ,г. Если при этом h оставляет на месте корневой элемент г>0, то а и Ь называются корнеподобными.
Говорят, что а 6 Sn коммутирует с h € Sn, если aha-1 = h, и аптиком-мутирует, если aha~x = /г-1.
Говорят, что r-набор подстановок а = (ах,..., аг) коммутирует с h 6 Sn, если аг коммутирует с h, г = 1,..., г, и антикоммугпирует, если аг антиком-мутирует с Л., i — 1,.. ., г. Если же щ коммутирует с h € Sn при некоторых J G Г„, а при остальных i £ Vn — антикоммутирует, то говорят, что г-набор подстановок а = (а,... ,аг) полукоммутирует с h.
Лемма 1.1 Если с подстановкой h £ Sn полукоммутирует тро.нзитивный набор подстановок, то h регулярна.
Пусть G — произвольная группа. Число подгрупп индекса п в группе G будем обозначать через Мд{п).
Лемма 1.2 Справедливы следующие утверждения:
1. Каждый класс корнеподобных транзитивных наборов подстановок степени п состоит из (гг — 1)! элементов.
2. Для всякой группы G, МДп) = |Тс(тг)|/(п — 1)!, где T(j(n) обозначает множество транзитивных представлений подстановками степени п группы G.
Для конечно порожденной группы G связь между ее подгруппами и транзитивными представлениями группы G подстановками (41, Гл. 5] выражается следующим утверждением (порождающие G и их образы в Sn обозначены одинаковыми буквами) [82].
Предложение 1.1 Пусть G = (xi,...,xr | Д = 1, /2 = 1,-) — конечно порожденная группа. Тогда существует взаимно однозначное соотвегп-