Четырёхэлементные краевые задачи типа задачи Римана в классах бианалитических функций

• Автор: Медведев, Юрий Анатольевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2007
• Место защиты: Смоленск
• Количество страниц: 115 с.

ГЛАВА I. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ И ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ 1Л Основные обозначения, понятия и вспомогательные теоремы
1.2 Некоторые вспомогательные краевые задачи в классах аналитических функций
1.3 Краткий обзор литературы по краевым задачам для бианалитических и полианалитических функций
ГЛАВА II. ПЕРВАЯ И ВТОРАЯ ОСНОВНЫЕ ЧЕТЫРЕХЭЛЕМЕНТНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ТИПА ЗАДАЧИ РИМАНА ДЛЯ БИАНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В СЛУЧАЕ ОКРУЖНОСТИ
2.1 Постановка первой основной четырехэлементной краевой задачи типа
задачи Римана для бианалитических функций
2.2 Сведение решения задачи к решению двух векторно-матричных задач Римана для аналитических функций
2.3 Решение и исследование картины разрешимости векторно-матричной задачи Римана вида (2.5) в случае
2.4 Решение и исследование картины разрешимости векторно-матричной задачи Римана вида (2.5) в случае II
2.5 Решение и исследование картины разрешимости задачи вЛи
2.6 Некоторые случаи решения задачи СТСц в замкнутой форме
2.7 Постановка второй основной четырехэлементной краевой задачи типа задачи Римана для бианалитических функций
2.8 Решение второй основной четырехэлементной краевой задачи типа задачи Римана для бианалитических функций в случае
окружности
ГЛАВА III. ПЕРВАЯ И ВТОРАЯ ОСНОВНЫЕ ЧЕТЫРЁХЭЛЕМЕНТНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ТИПА ЗАДАЧИ РИМАНА ДЛЯ БИАНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В СЛУЧАЕ ПРОИЗВОЛЬНЫХ ОДНОСВЯЗНЫХ ОБЛАСТЕЙ
3.1 Сведение решения задачи СЬСц к решению двух обобщённых скалярных
задач типа задачи Римана относительно кусочно-аналитических функций
3.2 Исследование картины разрешимости задачи ОД)
3.3 О решении второй основной четырехэлементной краевой задачи типа задачи Римана для бианалитических функций
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

Теория краевых (граничных) задач является важнейшей областью современного комплексного анализа и математической физики.
Благодаря трудам Б.В. Боярского [12], И.Н. Векуа [13], Н.П. Векуа [14]-
[18], Ф.Д. Гахова [22]-[24], Г.С. Литвинчука [44]-[46], Н.И. Мусхелишвили [65], [66] и многих других известных математиков теория линейных граничных задач в классах аналитических функций приняла, в основном, завершённый вид.
В то же время, для решения части прикладных задач, сводящихся к уже хорошо исследованным, классической теории последних оказывается недостаточно. При постановке задач возникает необходимость в расширении классических предположений о классах заданных и искомых функций, о классах рассматриваемых контуров и о других параметрах задачи. Исследования ведутся в различных направлениях: обобщаются полученные ранее результаты для более широкого класса контуров, для более широкого класса заданных и искомых функций; рассматриваются различные задачи со сдвигом; задачи, содержащие производные искомых функций; задачи, содержащие граничные значения функции, комплексно сопряжённой с искомой; граничные задачи в классе обобщённых аналитических функций.
Одним из естественных обобщений аналитической функции комплексного переменного является бианалитическая функция. Бианалитические функции зародились в математической теории упругости. Г.В. Колосов [35] обнаружил, что эффективным средством для решения задач плоской теории упругости могут служить функции вида ç>(z) + zi//(z), где ç(z), y/{z) - аналитические функции. Плодотворные применения этой идеи в механике в замечательных исследованиях Г.В. Колосова и Н.И. Мусхелишвили, а также их последователей широко известны (см., например, [35], [47], [65], [66]).
В данной диссертационной работе исследуются четырёхэлементные краевые задачи типа задачи Римана в классах бианалитических функций, которые являются одним из естественных обобщений многоэлементных краевых задач для аналитических функций.
Интерес к изучению многоэлементных краевых задач в классах аналитических, полианалитических, метааналитических функций постоянно растёт, так как к задачам такого типа приводят разнообразные физические и технические проблемы: плоская теория упругости (см., например, [65]), задачи теории поверхностей и теории оболочек (см., например, [13]).
Исследованию таких задач в классах бианалитических и полианалитических функций посвящено множество работ (В .А. Габринович
[19], [20], С.В. Левинский [42], [43], Б. Дамьянович [90] и др.). Однако изучаемые ими задачи в своей исходной формулировке имеют так называемый треугольный вид (см. [68], с. 19). Эта особенность их постановки позволяет свести решение рассматриваемых задач к последовательному

решению нескольких хорошо изученных краевых задач в классах аналитических функций.
Изучению многоэлементных задач общего (не треугольного) вида посвящены работы K.M. Расулова, Н.Г. Анищенковой, И.Б. Болотина. В этих работах исследованы двухэлементные задачи (типа Римана) для полианалитических функций ([9]-[11], [68], [69]) и трёхэлементные задачи (типа Римана) для бианалитических функций ([1]-[5]). Вместе с тем, до настоящего времени оставались не изученными четырёхэлементные задачи типа Римана общего вида в классах бианалитических функций, которые являются естественным обобщением задач исследованных ранее.
Пусть на плоскости комплексного переменного z = x + iy простой гладкий замкнутый контур L, заданный уравнением t = х(а) + iy(cг), где а -дуговая абсцисса (натуральный параметр) ограничивает односвязную область Т. Область, дополняющую Т~ и L до полной плоскости, обозначим через Т~ и будем считать для определённости, что начало координат находится в 'Г.
Требуется найти все кусочно-бианалитические функции F(z) = {fzF(z)} с линией скачков L, исчезающие на бесконечности и удовлетворяющие на L следующгш граничным условиям:
Задача GR4i
л ,.dF+(t) . ,лдР+(1) „ .. dF~(t) ,.JdF-(t) 1Ч
■дцСО +4г(0 д — ^п(0 я +0|,Ц) +Яі(0ї (0-1)
дх дх ох ох
А, (0^=С21 +g2 (0; (0.2)
ду ду ду ду
Задача GR42
An{t)F* (0 + Ап (t)F* (t) = Gn(t)F~ (0 + Gn (t)F~ (t) + gy(t), (0.3)
4, (t/2—1 + A22 = Gn{t)~& + G22 (t^Ü + g2 (/), (0.4)
on+ on+ on_ on_
где Akj{t), Gkj{t), gk(t) (£ = 1,2; у = 1,2) - заданные на контуре L функции класса

H(L) (Гёлъдера),
дп+
удп_
производная по внутренней (внешней) нормали к
Сформулированные задачи будем называть соответственно первой и второй основными четырёхэлементными краевыми задачами типа задачи Римана в классах бианалитических функций или короче - задачами СЯ4] и Наследует отметить, что в частном случае, когда коэффициенты удовлетворяют условиям

2) Х < 0, Хг ^ 0. Общее решение задачи зависит не более чем от / = 2^2+у2-г2 +тах(о, ^-1^,1) произвольных комплексных постоянных при выполнении условий разрешимости В общем числе Р - V, - Х + Щ - г2 ( Щ, у2 ’ г2 - определённые неотрицательные целые числа, у2 >г2).
3) Х <0. Общее решение задачи зависит не более чем от
1-2 XI + Ч - г, + тах(о,у2 Н'Ы) произвольных комплексных постоянных при выполнении р = у2 ~Хг +У1 ~г условий разрешимости ( Ух, У2, г, - определённые неотрицательные целые числа, у, > г/).
4) 2] < 0, уг2 < 9 • Общее решение задачи ИТи зависит не более чем от
/ = ^тах(о,н4 ~х$ произвольных комплексных постоянных при выполнении
к=

~Хк) условий разрешимости вида (2.34) и (2.35) (ук - вполне
к=
определённые неотрицательные целые числа, к = 1,2).
Теперь можем сформулировать общий вывод в виде следующей теоремы.
Теорема 2.3. Если на Ь = {г: |/| = 1} выполняются условия (2.4) и (2.54), то
число I линейно независимых решений однородной задачи ПТ?®, и число р условий разрешимости неоднородной задачи 01141 конечны, то есть задача ОЯ41 нётерова.
Перейдём к решению задачи в вырожденном случае. Здесь
справедлива следующая теорема.
Теорема 2.4. Если на окружности 1 = [t:t-1} выполняются условие (2.4)
и одно из условий (2.55)-(2.57), то решение задачи ОК4! сводится к последовательному решению четырёх обычных скалярных задач Римана относительно исчезающих на бесконечности кусочно-аналитических функций.