Экстремальные задачи для мероморфных и ρ-листных функций

• Автор: Ким, Виктория Юрьевна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Владивосток
• Количество страниц: 81 с.

Глава I.
Симметризационные преобразования множеств и функций
§1. Обозначения и вспомогательные утверждения
§2. Разделяющие преобразования областей
§3. Линейно-усредняющее преобразование функций
Глава II.
Приложения в геометрической теории функций комплексного переменного
§1. Теорема покрытия для регулярных функций
§2. Теоремы покрытия для р-листных функций в круге и кольце
§3. Совместно р-листные функции
§4. Рациональные функции
Глава III.
Неравенства для полиномов
§1. Приведенные модули
§2. Теорема об отделении нулей полиномов
§3. Ограничения на нули полинома
§4. Ограничения на критические точки
Литература

Исследования по многолистным функциям составляют важную и наиболее сложную часть геометрической теории функций комплексной переменной. Наиболее изучены р-листные функции, то есть функции, регулярные или мероморфные в некоторой области комплексной плоскости и принимающие в этой области каждое свое значение не более, чем р раз. Наряду с р-листными функциями большую роль играют также функции, р-листные в среднем по окружности и р-листные в среднем по площади. Многолистные функции обладают многими экстремальными свойствами, аналогичными экстремальным свойствам однолистных функций (р = 1). Однако ряд их свойств носит специфический характер, а ограниченность методов исследования затрудняет получение даже аналогичных результатов. Значимый вклад в развитие теории р-листных функций внесли X. Грунский, Г.М. Голузин, В.К. Хейман, Дж. Дженкинс, М. Шиффер, А.Ф. Бермант, П.Р. Гарабедиан, С.А. Гельфер, А. Гудман, И.Е. Базилевич, Ю.Е. Алепицын, И.П. Митюк, В.А. Шлык и другие математики. Актуальность исследования р-листных функций подтверждает большое количество работ по данной тематике, выполненных в последнее время. Отметим работы по изучению подклассов р-листных функций с ограничениями на их коэффициенты [48-53, 75,82, 83,86,87]; работы, в которых получены условия р-листности, либо критерии выпуклости или звездообразности р-листных функций [1,47,57,58,64,70,76,90,92]; исследования по р-листным в среднем функциям [59-63,65,88,89]; другие работы по изучению смешанных или специальных вопросов для мероморфных р-листных функций [12,69,77,80,81,84,85,91,93].
Несмотря на многочисленные исследования в данной области, геометрические вопросы теории, такие как, например, теоремы покрытия и искажения р-листными функциями в круге и кольце, задачи об экстремальном разбиении и другие, не нашли должного отражения в литературе. Вместе с тем эти вопросы детально изучены в теории однолистных функций [23, 24, 8, см. об этом]. Цель данной работы - восполнить частично указанный пробел. Сложность проблемы состоит в том, что методы, которыми решены указанные задачи для однолистных функций, не применимы напрямую в случае многолистных отображений. Поэтому необходимо развивать существующие методы исследований. В этой связи нами выбран метод симметризации - один из немногих методов геометрической теории функций, одинаково применимых как для однолистных, так и для многолистных функций. Кроме того, мы используем технику обобщенных приведенных модулей [10]. Отметим, что пионерские работы по применению симметризации в теории многолистных функций выполнены В.К. Хейманом [39], Дне. Дженкинсом [6], П.Р. Гарабедианом [66], и И.П. Митюком [31, 34]. Приложения симметризации к многолистным функциям представлены также в работах [2,32,33,35,38,40-46,67,68,71,72,74,79].
Первая глава диссертации посвящена развитию метода симметризации применительно к многолистным функциям. §1 носит вспомогательный характер. Во втором параграфе мы распространяем технику разделяющего преобразования В.Н. Дубинина [8] на римановы поверхности.
Как и при доказательстве предыдущих теорем отображение римановых областей обозначаем той же буквой. Аналогично определяется соответствующее семейство замкнутых множеств (£(г)}, порожденное образами кругов z — 6,1 < rl!k‘, s = 1,... , n, z — T]s < r1/1“, s = 1,m. Легко видеть, что множество П+£р{£(г)} содержится в прямоугольнике {z Є П : 0 < у < (—1/(2л-)) log г + (—1/(47гр)) log А + о(1)}, г -» 0, где
п т
А = П cj' П d1/. Обозначим теперь через u(z) функцию, непрерывную в
S = 1 S
плоскости z, равную нулю на действительной оси, единице на указанных выше кругах с центрами в 6, и r/s, и гармоническую в остальной части плоскости z (здесь г > 0 достаточно мало). Из теоремы 1 работы [9] следует, что
I{u,{z : у > 0})
— log г + М+ + о(1)
27тр
I(u, {z : у < 0})
2жр log г

2пр 2тгр log г
2прМ+ (
1 -I— (- о (
log г Iogr
log г + М + о(1)
2ітрМ~
1 Н— Ь о
log г

log г )

2ж р2
2тгр2
1°S 1% - VtlJt - logъ - rhUt
s,t s^t
На множествах семейства {V} определим функцию по формуле
= и(Я~1(Р~1(2))), Z £ V, V £ {V}. Из конформной инвариант-