Методы решения сингулярных интегродифференциальных уравнений на разомкнутых контурах

• Автор: Самойлова, Эмма Николаевна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Казань
• Количество страниц: 114 с.

Глава I. Некоторые результаты из теории функций и при-^ ближений

§1.1. Об общей теории приближенных методов функционального

анализа

§1.2. О приближениях сплайнами минимальных степеней

Глава II. Задача Коши для сингулярного интегродифферен-циального уравнения первого порядка

§2.1. Предварительные результаты

§2.2. Теоремы существования и единственности решения

§2.3. Об устойчивости решения

§2.4. Итерационные методы

§2.5. Метод сплайн-коллокации

§2.6. Метод сплайн-подобластей

§2.7. Общий проекционный метод
§2.8. Методы моментов и Галеркина
§2.9. Метод наименьших квадратов
§2.10. Метод коллокации

Глава III. Краевая задача для сингулярного интегродиф-ференциального уравнения второго порядка
§3.1. Предварительные результаты
§3.2. Вычислительная схема метода сплайн-коллокации
§3.3. Теоретическое обоснование метода
§3.4. Полиномиальные проекционные методы
Литература
Диссертация посвящена методам решения сингулярных интегро-дифференциальных уравнений (СИДУ) первого порядка
А<р = <р'Ц) + а^)(рЦ) + — у1 ^Т= /(г), -1 < £ < 1, (0.1)
7Г ■'-1 т
с начальным условием
р(-1) = 0 (0.2)
и второго порядка
А<р = <р"(£) + а(^)^'(0 + Ь(4) _1<4<1 (03)
7ГД Г — Г ^ _1 т — * с краевыми условиями
/%>(—!) + /?хф'(-1) = Д, 7оф(+1) + 71<^Ч+1) = Г) (°-4)
где а(£),6(£),с(4), с?(4), /(£) - известные функции на сегменте [—1,1], <£>(£) - искомая функция, а До» 7о> 71) Д» Г-вполне определенные постоянные, причем
+ ^1 > 7о + 71 > 0.
Сингулярные интегралы в (0.1) и (0.3) понимаются в смысле главного значения [29, 65, 86].
Такие уравнения возникают в процессе решения большого числа теоретических и прикладных задач математики, механики, физики, химии и техники (см., напр., работы [13, 18, 19, 20, 29, 33, 44, 45, 46,
52, 61, 63, 65, 68, 69, 70, 71, 72, 80, 84] и библиографию в них).
Вопросы теоретического исследования такого рода уравнений рассмотрены в работах [20, 29, 65, 81]. Из этих работ следует, что указанные уравнения точно (т.е. в замкнутом виде) решаются лишь в очень

{ар,р) — 11 а{1)р(б)-р(Ь)<П = J а(£)у?2(£)сИ > а J р2^)сИ = а||<^||2. Известно, что
(5у>, у») = /_** ¥>(*)-%>; Ь)<& = О для любой функции из Ь2 и тем более из О (А).
Итак, для любой функции р £ Д(А) С £2 выполняется неравенство
Иу>,р) > <*М?ьОтсюда и из свойств скалярного произведения находим а|М|2 < {Лр,р) < \А<Р\ • 1М1> Ч> € #(Л).
Поэтому
1ИИ1 > «1М1» V е В(Л)-Это условие, как известно [47], является необходимым и достаточным для существования левого ограниченного обратного оператора А^1 и
1ИГЧ1 < £ < <=о.
Отсюда, как известно, следует, что однородная задача, соответствующая (0.1)-(0.2), имеет только нулевое решение, а тогда неоднородная задача имеет единственное решение р* £ £-2 при любой правой части / £ £2- Отсюда и из тождества р*' (б) = /(£) — а(Ь)р*{£) — Ь(£)5’(<^>*;£), где а(1) £ С, с учетом свойств сингулярного оператора 5 : £2 ->• £2 и условия теоремы находим р*' {Ь) £ £2, следовательно, а и /г(£,т) = Н(г, £) € Тг'ра ('по каждой из переменных). Тогда СИДУ
Ар = #>'(*) + а(£)<^(£) + ^ У"1 ^ —1 < £ < 1,
7Г •'-1 Т
при начальном условии (0.2) имеет единственное решение р* £ И^1 при любой правой части / £ £2.