Чезаровская суммируемость отрицательного порядка рядов Фурье в пространстве Lp[a,b]

• Автор: Кудрявцев, Александр Иванович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Абакан
• Количество страниц: 61 с.

Глава 1. Методы суммирования Чезаро

§1. Определение (с, а) - суммируемости

§ 2. Свойства чисел Чезаро

Глава 2. Критерий (с,а)-суммируемости рядов Фурье в 2. [а.б],

-1 <а<

§1. Критерий (С,а)-суммируемости рядов Фурье в 1р[а,Ь],

< р <2

§2. Критерий (С,а)-суммируемости рядов Фурье в Ьр[а,ь,

2 < р < +оо
Глава 3. Достаточные условия (С,а)-суммируемости рядов Фурье в
-^«<о
§ 1. Достаточные условия (С, а)-суммируемости рядов Фурье в
12[о,б]
§2. Достаточные условия (с,а)-суммируемости рядов ФурьеВиленкина в пространстве ф,]
Заключение
Список литературы
Пусть Ф = tpnО)}”=0- ортонормированная система в пространстве Li[a,b, в общем случае комплекснозначная, и
Т.ск<рк(х) (1)

-ряд Фурье функции fix), то есть Ск = f{x)rpk(x)dx. Величины

л (*> /)= Z! An-к с к <Рк(х)> хе [а,ъ,
Аа„ *=о
где 4,,=-^ 1 —,а * -1 -2,...; т = 0,1 называют чезаровскими
средними порядка а или (С, а) -средними ряда (1). Говорят, что ряд (1) суммируется методом (С,а) ((С,а)-суммируем) в метрике пространства Lp[a,b, 1 < р < -к», если
Цст“(х,/)-/(*)! =о(1), и->оо, (2)
II II р
где |[/|| = Г , а а„ =о(1) означает, что lim ап =0.

В диссертации рассматриваются методы (С,а), где -1 < а < 0.
Известно, что равномерная суммируемость ряда (1) влечет его суммируемость в метрике пространства Lp[a,b], р> 1. Поэтому можно считать, что условия равномерной суммируемости ряда (1) методами (С,а) являются достаточными для (С. а) -суммируемости ряда (1) в метрике пространства Lp[a,b. Один из первых результатов, относящихся к равномерной чезаровской суммируемости отрицательного порядка ряда (1) по тригонометрической системе Ф, был получен А. Зигмундом [18] в 1925 году. Он показал, что если 2л - периодическая функция f{x) всюду удовлетворяет условию Липшица порядка а (0 < а < 1), то ее ряд Фурье равномерно суммируем методом (C,ß) (ß>-a) к fix). Позднее результат А.

Зигмунда обобщался Г.Харди и Дж. Литтлвудом [15], К. Яно [16], Л.В. Жижиашвили [6], Г.С. Сурвилло [12] и другими математиками. Первые результаты по чезаровской суммируемости отрицательного порядка в метрике пространства Ьр[а,ь были получены Л.В. Жижиашвили (анонсированы в 1975 году в работе [7] и доказаны в 1976 году в работе [8]). Они относятся к рядам Фурье по тригонометрической системе Ф и устанавливают интегральные условия на функцию /(х), достаточные для выполнения соотношения (2). Позднее достаточные условия того же типа были получены Т.И. Ахобадзе [2]. Обобщения на двойные тригонометрические ряды Фурье рассматривали Л.В. Жижиашвили [9] и У. Гогинава [5].
Условия другого типа используют скорость стремления к нулю коэффициентов Фурье функции /(х). А. Зигмунд [18] заметил, что если 2л- -периодическая функция /(х) всюду удовлетворяет условию Липшица порядка а (0 < а < 1),
— + £(а„ соепх + Ь„ Бт пх) (3)
2 „=|
- ее ряд Фурье по тригонометрической системе Ф, то коэффициенты Фурье
I 2 '~2
/(х) удовлетворяют условию д/ап + = 0(п~а), то есть отношение _+
п “
ограничено. Сопоставив этот факт с полученным им результатом, отмеченным выше, А. Зигмунд [18] сформулировал задачу:
суммируем ли ряд (3) методом Чезаро отрицательного порядка, соответствующим порядку коэффициентов?
Л.В. Жижиашвили [8] отметил, что соотношение
собАх + Ьк мп&х) =о(«'+“) (и-эоо)
1*=0 \р
является необходимым и достаточным для (С,а)-суммируемости ряда Фурье
(3) функции /(х) к /(х) в метрике пространства Ьр[-я,л 1<р<+ад, а>-1.

Возьмем є > 0 произвольно. Согласно [11, стр. 153, задача 19], для — найдется такая непрерывная на отрезке [0,1] функция р(х),что
У(х)-<р(х)сЬс<^-. о
С помощью этой функции оценим сверху выражение в правой части равенства (3.33). Имеем
/+1
т„-1 тп
тп Ё
1=0 I
1+1 т„- тп
= пї. / 1=0 _1_ т„ 1+1

1=0 I
= „ Е 1
II/(у)-/М]Ф*
/ (у) -<р(у) + <р(у)~ <р(х) + <р(х)~ /{х)1у 1_
1Я 1+1
т„_
11 /(у) - <р(у) + Ыу) - <р(х) I +1 <Р(х) - /(лг)| іу
сіх <

7+1 '/+1 1+1 1+1 "м
т„ т„ Л/ОО-ріу)Ф _1_ _т„ тп ск+ т„ т„ У(у)~<Р(х)(іу т„ т„ СІХ+ т„ т„ Л 4><,х)-/(х)с1у т„ сіх
т„-1 і тп т„- I
= тп Е У(у)-<р(у)№ + т„ Е
ыо тп і і=о і
У{у)-(р(х)с1у
т„-1 і пг„
Лс + т„£ У{х)-/(х)4х
ыо тп і

1 тц—1 тп
= §1(.у)-<р{у)<1у + т„ Е
о /=0
/+1

_ т -I пг
2є ъ г <—+т У {
'Х п -> /=0
7+1

У{у)-<р(х)с1у
СІХ.
Известно, что непрерывная на отрезке [0,1] функция <р(х) равномерно непрерывна на этом отрезке. Поэтому найдется 8 > 0 такое, что как только
у-х<5, дг,уе[0,1], так <р{у)-<р{х) < Поскольку тп -> да при п->оо, для