Включения с сюръективными операторами и их приложения

• Автор: Завьялова, Антонина Владимировна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Воронеж
• Количество страниц: 84 с.

Содержание

Основные обозначения

Введение

1 Основные понятия теории многозначных отображений

1.1 Основные обозначения и определения

1.2 Метрика Хаусдорфа. Липшицевы отображения

1.3 Непрерывные сечения и аппроксимации

1.4 Теоремы о неподвижных точках многозначных отображений

1.5 Измеримые многозначные функции. Многозначный оператор суперпозиции

1.6 Дифференциальные включения

2 Вполне непрерывные многозначные возмущения линейных сюръективных операторов

2.1 Включения с сюръективными операторами
2.2 Существование локальных решений задачи Коши для одного класса вырожденных дифференциальных включений
2.3 Топологическая размерность множества решений задачи Коши для вырожденных дифференциальных включений .
2.3.1 Топологическая размерность dim
2.3.2 Топологическая размерность множества решений операторных включений
2.3.3 Топологическая размерность множества ХХ^сь [0, Z])
2.4 Об одном классе управляемых систем, заданных вырожденными дифференциальными уравнениями

2.4.1 Об одной абстрактной управляемой системе
2.4.2 Об управляемой системе, заданной вырожденным дифференциальным уравнением
3 Уплотняющие многозначные возмущения линейных сюръ-ективных операторов
3.1 Некоторые свойства многозначных уплотняющих отображений
3.2 Мера некомпактности индуцированная непрерывным линейным оператором и многозначные уплотняющие возмущения
3.3 Включения с (А, ^-уплотняющими отображениями
3.4 Об одном классе вырожденных дифференциальных включений
Список литературы

Основные обозначения
Будем использовать следующие обозначения:
Е, Е0, Е, Е2, У.з - банаховы пространства;
М" - множество вещественных чисел;
С[а,ъ - пространство непрерывных вектор-функций, определенных на отрезке [а, Ь] со значениями в банаховом пространстве Е.
Пусть У подмножество банахова пространства Е, тогда:
У(У) - множество всех непустых подмножеств в У;
С (У) - множество всех непустых замкнутых подмножеств в У;
К (У) - множество всех непустых компактных подмножеств в У;
Ку(У) - множество непустых выпуклых компактных подмножеств пространства У;
Су (У) - множество непустых выпуклых замкнутых подмножеств пространства У.
Если хо Е Е - некоторая точка, то Вц[хо] - замкнутый шар радиуса Я с центром в хо, а Пд[то] - открытый шар радиуса Я с центром в хо. Многозначные отображения в диссертации обозначаются заглавными буквами Я, С, Р, <5, Ф, Ф, а прописными буквами /, д, щ ф V, ш, 'ф, однозначные отображения.
Будем обозначать:
Уф1 (У) - малый прообраз множества У;
Г’л'(У) = {(%,%) г € У(т), х € X} С X х У - график многозначного отображения У : X —У У (У).
УгхУ - множество неподвижных точек многозначного отображения У; Если С - подмножество нормированного пространства У, то : со(Г2) - выпуклая оболочка множества

2 Вполне непрерывные многозначные возмущения линейных сюръективных операторов
2.1 Включения с сюръективными операторами
Пусть ЕъЕ2 - банаховы пространства, А : D(A) с Е —> Е2 - замкнутый линейный сюръективный оператор, D(A) - область определения оператора А. Тогда для любой точки у Є Е2 множество
А~1{у) = іх Є Ei I A{x) = у} ф
является замкнутым и выпуклым, то есть определено многозначное отображение Л-1 : Е2 —> Cv(Ei), где Cv{E) - множество непустых замкнутых выпуклых подмножеств пространства Е.
2.1.1 Определение. Число
II .-ill ,inf{INI I X Є Ei,A(x) = y},
\Л I! — SUP v ІТГГП >
уЄЕ2 ІІУІІ
называется нормой многозначного отображения Л-1.
Известно (см., например, [6]), что при сделанных предположениях
||Л-11| < оо. Рассмотрим пример вычисления ||Л_1||.
2.1.2 Пример. Пусть С[а>ь] - пространство непрерывных вектор-функций, определенных на отрезке [а, b} со значениями в банаховом пространстве Е. Пусть Л : D(A) С Сад —> Са,ъ] ~ оператор дифференцирования, D(A) - множество непрерывно дифференцируемых вектор-функций. Очевидно, что Л является замкнутым сюръективным оператором. В работе [16] показано, что
и~Ч1 = Ьд
Если подпространство Кег(А) не является дополняемым в пространстве Ei, то не существует линейного непрерывного оператора, правого