(p,q)-аналитические функции в круге с вырождением на границе и квазиконформные отображения с неограниченными характеристиками

• Автор: Терентьева, Юлия Валерьевна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Казань
• Количество страниц: 120 с.

Оглавление

Введение
Глава 1. О суммируемости производных р - аналитических функций в случае вырождения в конечном множестве граничных точек единичного круга
1.1. Основные определения и обозначения
1.2. р - аналитические функции, осуществляющие топологическое отображение единичного крута на себя
1.2.1. Интегральные представления для р - аналитических функций
1.2.2. Оценка сингулярного интеграла с плотностью, неограниченной в одной граничной точке единичного круга
1.2.3. Суммируемость производных р - аналитических функций
1.3. Выводы
Глава 2. О суммируемости производных р - аналитических функций в случае вырождения на граничной дуге единичного круга
2.1. Оценка сингулярного интеграла с плотностью, неограниченной в точках граничной дуги единичного круга
2.2. р - аналитические функции в случае вырождения на граничной дуге единичного круга
2.2.1. О функциях класса Макенхаупта
2.2.2. Интегральные представления для р - аналитических функций
2.2.3. Слабая сходимость последовательностей взвешенных производных
р - аналитических функций
2.2.4. Существование р - аналитических функций, осуществляющих топологическое отображение единичного круга на себя
2.2.5. Суммируемость производных р - аналитических функций
2.3. Выводы
Глава 3. {р. д) - аналитические функции в случае вырождения на граничной дуге единичного круга

3.1. (р, 3.1.1. Интегральные представления для (р, д) - аналитических функций
3.1.2. Слабая сходимость последовательностей взвешенных производных
(р, ц) - аналитических функций
3.1.3. Существование (р,я) - аналитических функций, осуществляющих топологическое отображение единичного круга на себя
3.1.4. Суммируемость производных (р, д) - аналитических функций
3.2. Теорема П. П. Белинского и экстремальные функции класса квазиконформных в среднем отображений
3.3. Выводы
Заключение
Список литературы

Введение
Актуальность и степень разработанности темы. Первые исследования по квазиконформным отображениям появились около 80 лет назад и принадлежат М. А. Лаврентьеву ([97], [100], [93], [94], [95], [96], [99], [98]) и Г. Гретшу [16]. В настоящее время теория плоских квазиконформных отображений представляет собой хорошо разработанный, но вместе с тем активно развивающийся раздел геометрической теории функции комплексного переменного, имеющий глубокие связи со многими ветвями математики и механики (уравнения в частных производных, дифференциальная геометрия и топология, теория групп, гидродинамика и газовая динамика, теория упругости). С начала 60-х годов активно развивается теория пространственных квазиконформных отображений (см., например, В. М. Миклюков ([105], [106]), А. В. Сычев [133], Ю. Г. Решетняк [125], Б. В. Шабат [142]).
М. А. Лаврентьевым, М. В. Келдышом, И. Н. Векуа, Л. Г. Гудерлеем, С. А. Христиановичем, С. А. Чаплыгиным, и др. была отмечена важность проблемы неклассических уравнений математической физики при решении задач, возникающих в трансзвуковой газовой динамике, в течениях жидкости в открытом канале, в теории бесконечно малых изгибаний поверхностей, а также во многих прикладных задачах механики. Поэтому краевые задачи, возникающие при исследовании непрерывности решений вырождающихся эллиптических уравнений и систем, привлекают внимание многих авторов (см., например, О. А. Вихрева [66], И. Б. Давыдкин ([77], [78], [76]), И. Е. Егоров [81],
С. Г. Михлин [114], В. Н. Монахов ([116], [115], [118], [117]), С. Л. Соболев [131], С. М. Никольский [119]).
Одно из направлений теории квазиконформных отображений связано с изучением уравнения Бельтрами, являющегося частным случаем эллиптических систем уравнений, подобно тому, как теория конформных отображений связана с решением системы уравнений Коши-Римана.
Впервые уравнение Бельтрами в вещественной форме появилось в работе Бельтрами [2] в 1867/1868 г. в связи с изучением аналитических функций на поверхностях. Аналитическое определение квазиконформного отображения, как гомеоморфного обобщенного решения уравнения Бельтрами, фактически содержалось в работе Морри [28] в 1938 г. вне всякой связи с существовавшей

Поэтому в Соболевском свойстве 3 коэффициенты имеют вид:
■5 - ч Ч #7 2У2(1~?) 4д<1-") Г .. , . гт^-У
'Г § ?(2 —я)
5о = !;<* = = с(2>5)сз 8г/
[р (5Г)] »6-«) . (1.58)
Для доказательства условия (1.17) получим оценки для всех функций, входящих в Соболевские свойства.
Из (1.53) получаем оценку
р(Вг) < 2(?2<1~1')сс^2^~^г2Ср (К*), (1-59)
где К* := В (г0,г/4) Вг.
Неравенство (1.8) в нашем случае выглядит следующим образом:
р {Вг) < (с2п)дг2+а. (1.60)
Поэтому легко показать, что функции 5 (г), Н (г), зр (г) удовлетворяют неравенствам:
5 (г) < С3С2 1ПЯ 1,Н{г) < сс£Ч ^7Г2^ 1
, 2д-ь{2-я)
ер (г) < С (2, з) С32 8 (с27г) . (1.61)
Принимая во внимание (1.52), в качестве К (г) в равенстве (1.16) можно взять функцию К (г) = г. Тогда из неравенств (1.61) следует оценка для функции 6? (г):
(7 (г) < С3С2 1ттд 1 ехр (с^9 ^7Г2^ ^
<1(г)
(1 (г) = С ^С3С’2 1ттд 1 ^1 + [с{2, в) с (с27Г) ^
2—я у'2+О:

2д-г(2-д)
При г —> 0, имеем оценку:
С(г)<
с3с| V9
[с(с3с? V г)]
(1.62)
Учитывая неравенства (1.59) и (1.62), имеем, при г —» 0, что условие (1.17) выполнено.
Таким образом, условия критерия Винера полностью выполнены. Тем самым, показано, что и случае, когда V (го) ф 1, функция и (г) непрерывна в точке го- Имеем противоречие.