Уравнения свертки в пространствах числовых последовательностей

• Автор: Карпов, Александр Владимирович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2001
• Место защиты: Уфа
• Количество страниц: 99 с.

Оглавление
Введение

1 Определение и свойства операторов свертки в пространствах последовательностей

1.1 Пространства числовых последовательностей: в, А,Р и

1.2 Операции сдвига и свертки в пространствах последовательностей

1.3 Преобразование Лапласа функционалов из А^* и В^* .

1.4 Уравнения свертки в пространствах и В|Х|Р

2 Факторизация операторов свертки в пространствах последовательностей

2.1 Идеалы аналитических функций в пространстве

Нф(С{ 0},оо)

2.2 Лемма о мажорирующей функции
2.3 Идеалы аналитических функций в пространстве
#|1пМр(С{0},0)
2.4 Постановка и решение задачи факторизации оператора
свертки в пространствах последовательностей
2.5 О расщеплении характеристической функции на два
множителя
3 Перестановочные с кратным сдвигом операторы в пространствах числовых последовательностей
3.1 Перестановочность с кратным сдвигом. Операторы свертки с пропусками

3.2 Подпространства, инвариантные относительно оператора кратного сдвига £т
3.3 Приложение к решению однородных уравнений
3.4 Разрешимость неоднородных уравнений
3.5 Решение операторного уравнения
БтМ - М5ОТ = /

Введение
В диссертации решается задача нахождения общего вида линейных непрерывных операторов, перестановочных с оператором сдвига в весовых пространствах числовых последовательностей комплексных чисел. Доказывается, что класс таких операторов состоит из операторов свертки в указанных пространствах последовательностей. Описываются их важнейшие свойства и решается задача факторизации операторов свертки. Так же находится общий вид операторов, коммутирующих с операцией кратного сдвига и полностью описывается ядро и образ таких операторов. В последнем разделе диссертации в пространстве линейных непрерывных операторов над пространствами числовых последовательностей решается операторное уравнение SmM - MSm = I.
Решаемые в диссертации проблемы являются дискретным аналогом известной задачи из теории функций: описать в некотором классе функций (целых, бесконечно дифференцируемых или аналитических в некоторой области) все линейные непрерывные операторы, перестановочные с оператором дифференцирования. Нахождению таких операторов в пространствах одной или нескольких переменных посвящены работы многих математиков: Братищева A.B. и Коробейника Ю.Ф. [1], Елисеева И.С [8], Коробейника Ю.Ф. [16], Нагнибиды Н.И. [29]-[30], Напалкова В.В. [33], Царькова М.Ю. [45], Ткаченко В.А. [44], и др. Согласно результатам этих работ, коммутирующие с дифференцированием операторы могут быть описаны с помощью операторов свертки. Важнейшие свойства таких операторов, однородные и неоднородные уравнения свертки, структура решений этих уравнений подробно исследовались в работах Коробейника Ю.Ф. [18], Красичкова - Терновского И. Ф. [19], Кривошеева А.

где f{0)(x) = (Тх)о-
Достаточность. Пусть х - произвольный элемент В^. Так как функционал / = {fk}këz 6 ВД, существует некоторое положительное число т': |/fc|er'^ < оо. Оценим ||M/æj|T:
\М/Х\Г =

^ sup V |/fe|er'^ • læjfc+^le-'7^" • e^+n-r'Vk-rVn ^ ne z
^ nu E iMeTV* ■ sup e
< NUII/N SUP еСТ^к+П ~Tmin +^n) ; (L15) n,k€Z
~ где Tmin = min(r, t') .
В силу того что пространство Bv отображается оператором сдвига в себя, без ограничения общности считаем, что <р(х) имеет минимум в точке 0. Тогда уэ(ж) - строго возрастает при х > 0 и убывает при х ^ 0.
Рассмотрим случай (р2к ^ <Р2п
1. Пусть к > 0, та > 0. В силу возрастания <р(х) при положительных х из неравенства у>2к ^ п следует к ^ п и
0<к + п^к + к = 2к
В силу возрастания ip(x) при положительных х получаем
<р{к + та) ^ (р(2к).
2. Пусть к ^ 0,та ^ 0. В силу убывания <р(х) при отрицательных х из неравенства <р2к ^ Ч>Ъп следует к ^ та и
0^к-{-п^к + к = 2к
В силу убывания <~р{х) при х ^ 0 получаем
ip(k + та) ^ <^(2А;).
3. Пусть к > 0, та<0иАг< —та. Тогда 0>А; + та>та> 2та. Из убывания функции ip(x) при х ^ 0 и начального условия (р(2п) ^ (р(2к) получаем
<р(к + та) < <р(2та) ^ (р(2к).