Дискретные неравенства Харди с переменными пределами суммирования в пространствах последовательностей

• Автор: Альхалил Айман
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 70 с.

СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
Глава 1. НЕРАВЕНСТВО ХАРДИ ДЛЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ С ПЕРЕМЕННЫМИ ПРЕДЕЛАМИ ИНТЕГРИРОВАНИЯ В ПРОСТРАНСТВАХ ЛЕБЕГА С МЕРАМИ ,
§1.1. Постановка задачи и вспомогательные леммы
§ 1.2. Блочно-диагональный метод
§ 1.3. Случай — р
§ 1.4. Неравенство Харди с тремя мерами
Глава 2. ДИСКРЕТНЫЕ НЕРАВЕНСТВА ХАРДИ С ОДНИМ ПЕРЕМЕННЫМ ПРЕДЕЛОМ СУММИРОВАНИЯ В ПРОСТРАНСТВАХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ
§ 2.1. Постановка задачи
§ 2.2. Случай 0 < р < д < оо
§ 2.3. Случай 0 < д < р < оо
Глава 3. ДИСКРЕТНЫЕ НЕРАВЕНСТВА ХАРДИ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ ПРЕДЕЛАМИ СУММИРОВАНИЯ В ПРОСТРАНСТВАХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ
§ 3.1. Предварительные результаты
§ 3.2. Случай 0 < р < д < оо
§ 3.3. Случай 0 < д < р < оо
ЛИТЕРАТУРА
ВВЕДЕНИЕ
Систематическое изучение неравенств началось с выходом в светныне классической монографии Г.Г. Харди, Д.Е. Литтлвуда и Г. Полна [11], где, в частности, рассматриваются две стандартные формы неравенства Харди при 1 < р < оо: дискретное неравенство Харди
верное для произвольных последовательностей неотрицательных действительных чисел и интегральное неравенство Харди
І {х і тл) Лх-{ї^ді (0'°'2)
выполненное для всех неотрицательных функций / на (0, оо), интегрируемых на любом интервале (0, ж) для всех х > 0.
Для 0 < р < оо обозначим 1Р совокупность всех последовательностей а — {ап}“г1 вещественных чисел таких, что
Аналогично, Ьр состоит из всех измеримых на (0, оо) по Лебегу функций (классов эквивалентности по модулю равенства почти всюду) / = f(x) таких, что
(0.0.1)
ІМІ1» :=вир|а*|.
0 < р < оо,
И/Нь» := евв8ир|/(я;)|.
же(0,оо)

При 1 < р < оо пространства 1Р и Ьр являются линейными нормированными пространствами.
Определим линейные операторы
которые называются дискретным оператором Харди и интегральнъш оператором Харди, соответственно.
Отметим, что константа в обоих неравенствах (0.0.1) и (0.0.2)
является наилучшей из возможных. Из неравенств (0.0.1) и (0.0.2) вытекает, что операторы Харди К и Н при р > 1 являются ограниченными линейными операторами, действующими из пространства 1р в 1р и из Ьр в Ьр, соответственно, и их нормы равны
В дальнейшем неравенства (0.0.1) и (0.0.2) были существенно обобщены и нашли применения во многих разделах функционального анализа и теории дифференциальных уравнений. Некоторые из этих обобщений и применений изложены в монографиях [5], [30] и [26], а также в историобиблиографической работе [25].
В литературе имеется гораздо больше результатов, касающихся обобщения интегральной версии (0.0.2). Эти два диаметральных случая смыкаются, когда рассматриваются неравенства с произвольными мерами •
Остановимся на развитиии результатов для дискретного неравенства Харди.
По аналогии с интегральным случаем возник естественный вопрос:

Бореля.

оо (к Q~
~ Y115Z /(*)) S ^ =
fc=l t=l / n>b~1(k)
- S {«*)-«} {(bw)^^,)} *

kп>Ь-г(к) г=1 / J
Применяя неравенство Гельдера с показателями р , р/(q—l),r/q, получим
2=1 / 00 * jq
п=1 р
Л-£(1Н

Требуется показать, что
|(50'(5^)’s45"'*H’
(2.3.3)
Имеем
jr = £; TO(*)‘v Г ра-»-ч8 =

= p I s~p~1ds V гоШ1-^ <

1 n:&>n;]Tj=1 w(i)1_P
Неравенство (2.3.3) выполнено в силу теоремы 2.1, поскольку