Треугольные представления операторов с унитарным спектром

• Автор: Баранов, Николай Иванович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1983
• Место защиты: Одесса
• Количество страниц: 101 c. : ил

Начиная с 50 - х годов появились работы, в которых теорема Шура о приведении квадратной матрицы к треугольной форме переносилась на некоторые классы линейных операторов, действующих в бесконечномерных пространствах [I - 18] . В диссертации осуществлён ещё один шаг в этом направлении: получена спектральная характеристика операторов, допускающих треугольные представления вида Т=$е1Ч'с-р)о1Р(1*и) , где V - оператор с

собственной максимальной цепочкой 'р , диагональ которого вдоль ^2 равна нулю, а Ч>(Р) (Ре^Р^О^СР)^^)-неубывающая непрерывная слева функция. Рассмотрены частные случаи, когда и - вольтерров оператор и когда т коммутирует с инволюцией 3 (3 =1, (3{,39) = ({,9)) .
Другой круг вопросов, рассматриваемых в диссертации, связан с операторными унитарными узлами IЭвида Д

~~ (^ в Б У / ' гце & Е / " Точная запись унитарного

оператора, действующего из ©Г в •

Для узла Д , его характеристической оператор - функции

0д(Д)-5+й&О-ЛТ) Т (1Д1<1) и его основного оператора Т вводятся понятия вещественности. Доказывается, что из вещественности одного из объектов т , ел(Л) и Д вытекает вещественность двух других.
Как известно, треугольное представление основного оператора Т унитарного узла Д влечёт за собой мультипликативное представление функции 9дСЮ . В качестве приложения в диссертации получены мультипликативные представления вещественных характеристических оператор - функций 9д(А) для случая, когда основной оператор узла Д допускает одно из указанных выше треугольных представлений.
Постановка задачи о приведении бесконечномерных операторов к треугольному виду принадлежит М.С.Лившицу ( см. также
[18] ). М.С.Лившиц показал, что любой ограниченный оператор А С ядерной МНИМОЙ компонентой ~ [А - А ) унитарно
эквивалентен с точностью до дополнительной компоненты оператору треугольного вида, действующему в функциональном пространстве. Доказательство этого факта опирается на мультипликативное представление характеристической матрицы - функции оператора А , полученное впервые В.П.Потаповым
Л.А.Сахнович [7, 8] обобщил результаты М.С.Лившица на тот случай, когда мнимая компонента оператора А вполне непрерывна и имеет сходящуюся сумму квадратов собственных чисел.
В дальнейшем, благодаря исследованиям А.В.Кужеля [9, 10] ,
В.Т.Поляцкого [II] и других, были построены треугольные функциональные модели операторов, принадлежащих иным классам.
При всей значимости перечисленных выше результатов, про-

блема треугольных представлений операторов не исчерпывалась ими до конца. Очередной шаг в теории треугольных представлений заключался в отыскании абстрактного треугольного представления, не содержащего дополнительной компоненты, которое могло бы играть роль, аналогичную той, которую диагональное представление
А = 5х«1ЕОО играет в теории самосопряжённых операторов, се
Эта задача была решена М.С.Бродским сначала для вольтерровых [I] , а затем [2, .3] для операторов более широкого класса. Теория абстрактных треугольных представлений, одновременно, развивалась в работах И.Ц.Гохберга, М.Г.Крейна {^12^] и В.И.Мацае-ва [13]
Дальнейшее формирование теории абстрактных треугольных представлений происходило в работах Ю.И.Любича, В.И.Мацаева [»] , И.Ц.Гохберга, М.Г.Крейна [151 , В.М.Бродского, М.С. Бродского [к] , М.С.Бродекого [17]
Во всех вышеприведённых работах ограничения накладывались на мнимую компоненту приводимого к треугольному виду оператора. Таким образом, исследуемый оператор был в том или ином смысле "близким" к самосопряжённым.
Более трудная задача об абстрактных треугольных представлениях операторов "близких" к унитарным, рассматривалась в работах И.Ц.Гохберга, М.Г.Крейна М и В.М.Бродского, И.Ц.Гохберга, М.Г.Крейна [5] . М.С.Бродским было замечено, что часть утверждений этих статей ( достаточные части теоремы I в [Ч] и теоремы 3.4 в [5] ) ошибочны.
В диссертации доказано, что при некотором сужении класса рассматриваемых операторов упомянутые теоремы из [^] и [5]

Ц-Я1 =(Т-Л1)(1-(Т-Я1) иг) (Яер(Т))
следует, что ё(и)св(Т)
Соотношение ( 3.1 ) получим, применяя аналогичные рассуждения к равенству
= ^дрОдр+^др) (АР = Рг Р1) Т
и, замечая, что операторы ^-др и ^Др обладают свойствами I), 2) относительно максимальной цепочки в пространстве &Р , состоящей из ортопроекторов
(СИ¥, Р, « б ^ Рг) •
Теорема 3.1. Для того чтобы оператор Т (еТИ) допускал треугольное представление т = Ц(1 +в) , где V
оператор с собственной максимальной цепочкой и диагональю вдоль неё, равной нулю, а (X - унитарный оператор, определённый равенством и = 5 е1ЧЧР)о1Р , в котором
О2]
у(р) (ре^2, Р>0, 0«Ч>(Р)«2Ти) - неубывающая,
непрерывная слева функция, необходимо и достаточно, чтобы
ТеОЦ?) И Бо1Р0-РНР)-1 Нс*Р =0 (Н
-1-Т т)
Доказательство. Необходимость. Очевидно, цепочка ^ принадлежит оператору "Т . Согласно лемме 3.1, спектры всех операторов Тр (РеТ 1 б>о) унитарны и по