Ортогонально аддитивные полиномы в векторных решетках

• Автор: Кусраева, Залина Анатольевна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2012
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 124 с.

Оглавление
Глава 0. Введение
0.1. Обзор литературы
0.2. Актуальность темы исследования
0.3. Краткое содержание работы
0.4. Основные положения, выносимые на защиту
0.5. Методы исследования
0.6. Апробация работы
Глава 1. Полилинейные операторы
1.1. Пространство регулярных полилинейных операторов
1.2. Ортосиммстричность
1.3. Однородное функциональное исчисление
1.4. Степень векторной решетки
1.5. Полилинейные операторы на решетке С(К)
Глава 2. Представление ортоаддитивных полиномов
2.1. Предварительные сведения о полиномах
2.2. Полиномы в борнологических пространствах
2.3. Полиномы в пространстве непрерывных функций
2.4. Основные теоремы о представлении
2.5. Полиномы в векторных решетках
Глава 3. Приложения
3.1. Порядковое исчисление
3.2. Продолжение положительных полиномов
3.3. Теорема Радона — Никодима для полиномов
3.4. Полиномы, сохраняющие дизъюнктность
3.5. Интегральное представление полиномов
Литература

Глава 0. Введение
0.1. Обзор литературы
Теория векторных решеток и порядково ограниченных линейных операторов имеет более чем восьмидесятилетнюю историю. Эта теория вместе с приложениями к различным разделам математики хорошо представлена в монографической литературе, см., например, [2, 7, 10, 14, 36, 73, 76, 79, 88, 92, 98].
Изучение полилинейных операторов, определенных на декартовых произведениях векторных решеток, относится к более позднему времени: началом можно считать работу японского математика X. Накано [82] о билинейных операторах, вышедшую в 1953 году. Около двадцати лет билинейные операторы Накано, не вызывали особого интереса, несмотря на то, что через три года появилась работа Г. Биркгофа и Р. Пирса [39], в которой было введено понятие решеточно упорядоченной алгебры, умножение в которой есть положительный билинейный оператор в смысле Накано.
Билинейные операторы Накано в векторных и банаховых решетках были повторно введены и исследованы в работах Р. Кристеску [55], Д. Фремлина [58, 59], Г. Витстока [96, 97], А. Г. Кусраева [12], X. Шефера [90].
С начала 2000-х годов возрастает интерес к порядковым свойствам билинейных операторов. В этот период появились новые мо-
тивации, новые объекты и методы исследования, новые взаимосвязи с другими разделами теории векторных решеток и положительных операторов. Этот всплеск начался с серии работ X. Бу-сксса и А. ван Ройя [48, 51, 49, 52, 50] и продолжается по сей день [15, 16, 18, 19, 42, 43, 46, 71, 83], см. также обзоры [16] и [45].
Полиномы от бесконечного числа переменных или, точнее, полиномы, определенные в бесконечномерных пространствах, исследовались с конца XIX века, см. [57]. Однако, изучение порядковых свойств полиномов в векторных решетках начато сравнительно недавно. В работе А. Дефанта и Н. Кэлтона [56] было показано, что пространство в-однородных полиномов на бесконечномерном банаховом пространстве с безусловным базисом не имеет безусловного базиса. Позже Б. Греку и Р. Рийан [61] обнаружили, что однородные полиномы, допускающие разложение в безусловно сходящийся ряд мономов, совпадают с регулярными однородными полиномами, т. с. с однородными полиномами, представимыми в виде разности двух положительных однородных полиномов, причем положительность понимается относительно естественной структуры банаховой решетки в области определения. Однородный полином принято называть положительным, если положителен порождающий его симметричный полилинейный оператор. С этого момента проявляется возрастающий интерес к порядковым свойствам полиномов.
Однако, оказалось, что пространство полиномов в банаховом пространстве часто слишком широко, чтобы строить содержательную теорию. Мощным методом исследования полиномов является линеаризация на тензорном произведении, но при этом соответствующее тензорное произведение может оказаться необозримым, см. [57, 87].

типликативный решеточный гомоморфизм
X : / х(/) := /(®ь
отображающий .аДМ) в Е, такой, что х(тг) = хг (г = 1
Доказательство. См. [47, теорема 4.10]. □
Наконец, отметим, что если в Е имеется еще и единичный элемент 1, то функциональное исчислениех из предыдущей теоремы может быть расширенно на /-алгебру всех функций / : Е —» Е
полиномиального роста. Заметим также, что каждая архимедова /-алгебра с единицей точна.
Теорема 1.3.3. Пусть Е — равномерно полная /-алгебра с единицей 1 и х := (ад
ЗАМЕЧАНИЕ 1.3.1. Общее функциональное исчисление в равномерно полной /-алгебре, соединяющее теоремы 1.3.1 и 1.3.2, см. [47, теорема 5.2), нам в дальнейшем не потребуется.
ПРИМЕР 1.3.1. Для элементов х