Функциональное исчисление и асимптотические конструкции в теории операторов

• Автор: Шульман, Татьяна Викторовна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 101 с. : ил.

1 Представления полиномиальных соотношений и суммы проекторов

в С*-алгебрах

1.1 Представимость соотношений в С*-алгебрах специальных классов

1.1.1 Представления в алгебрах типа I

1.1.2 Представления в АБ-алгебрах

1.1.3 Представления в С*-алгебрах со следом

1.2 Представления проекторных соотношений

1.2.1 £„(А) для С*-алгебр типа I

1.2.2 Следы на универсальных алгебрах соотношений (1.8)

1.2.3 £П(А) для АР-алгебр

1.2.4 Ядерность и точность

1.2.5 Дополнительные результаты об алгебрах Р„,а
1.2.6 Операторы, представимые в виде суммы проекторов
2 Асимптотическая эквивалентность некоторых С*-алгебр
2.1 Предварительные сведения
2.1.1 Некоторые определения из теории категорий
2.1.2 Бифунктор Каспарова
2.1.3 Асимптотические гомоморфизмы и Е-теория
2.1.4 Расширения С’-алгебр
2.2 Асимптотическая эквивалентность С*-алгебр цА ® К и С0(К2) 0 А 0 К
2.2.1 Конструкция асимптотического гомоморфизма из Со(К2)®А®К
в цА ® К
2.2.2 Построение обратного отображения
2.2.3 Доказательство основного утверждения
2.3 Случаи А = С
2.3.1 цС®К и С0(Л2) ® К не являются гомотопически эквивалентными
2.3.2 Геометрические свойства асимптотической эквивалентности между фС ® К и Со (К2) ® К
3 Унитарно-ковариантные отображения в С*-алгебрах
3.1 Унитарно-ковариантные отображения в алгебре матриц
3.1.1 Функциональная реализация
3.1.2 Непрерывность унитарно-ковариантных отображений
3.1.3 Непрерывные унитарно-ковариантные отображения и симметрические многочлены

3.1.4 Условия лиишицевости унитарно-ковариантного отображения
3.1.5 Дифференцируемость по Фреше
3.2 Унихарно-ковариантные отображения в конечномерных С-алгебрах
3.3 Ковариантные отображения в алгебре компактных операторов
3.4 Унихарно-ковариантные отображения в иНИ-алгебрах
3.5 Отображения, ковариантные относительно подобия
3.5.1 Функциональная реализация
3.5.2 Непрерывность на Шо
3.5.3 Локальная лнпшицевость на
3.5.4 Непрерывность на
3.5.5 Непрерывность отображений, ковариантных относительно подобия, в случае пространства размерности

Теория С*-алгебр, бурно развивающаяся и настоящее время, призвана выработать адекватный математический аппарат для квантовой физики и, в то же время, исследовать алгебраическую основу задач и конструкций операторной теории. Хотя главной особенностью этой теории является некоммутативность, так что ее разделы даже носят названия некоммутативная геометрия, некоммутативная теория вероятностей, одним из основных технических средств остается функциональное исчисление. Аппарат функционального исчисления, связывающий С*-алгебры с теорией функций, используется как в основных конструкциях, так и в оценках норм и спектров, операторных неравенствах и т.д.. По существу, возможность применения функционального исчисления в С*-алгебранческой ситуации основана на спектральной теореме Гильберта Шмидта-Вейля- фон Неймана. Эта возможность с успехом использовалась уже в первой, основополагающей работе И.М.Гельфанда-М.А.Наймарка. Ряд дальнейших глубоких результатов, основанных на использовании функционального исчислении был получен Арвесоном, Педерсеном, Хаагеруном, Войкулеску, Кунцем и многими другими исследователями.
Другим важным методом получения нужных объектов и необходимых оценок является метод асимптотических конструкций, состоящий в получении точных соотношений с помощью последовательностей приближенных и дальнейшей факторизации. Его основоположниками следует, новиди.мо.му, считать Риффела и Макдафф, но истоки он берег в известных результатах Вейля и фон Неймана, а наиболее важные применения были получены в известной работе Конна о классификации факторов фон Неймана. Дальнейшее развитие метод получил в работах Конна, Хигсона, Войкулеску, Блакадара, Лоринга, Киршберга, Томсена и других исследователей.
В данной работе оба этих метода применяются в задачах классификации представлений соотношений (первая глава работы) и в задачах гомотопической теории С*-алгсбр (вторая глава). В третьей главе функциональное исчисление становится не только методом, но и объектом исследования. Здесь отображения вида а /(а) (функциональные отображения) включаются в более широкий класс отображений, ковариатппих относительно унитарной эквивалентности, и их свойства изучаются в соответствующем более широком контексте.
Задачи расширения области применимости обоих методов, исследования их внутренней природы являются весьма актуальными.
Целью диссертации является применение функционального исчисления и использование асимптотических конструкций для решения конкретных задач теории С*-алгебр и теории операторов.
Все основные результаты диссертации являются новыми. Среди них отметим следующие:
1. Классификация но сложности теории представлений универсальных алгебр нроекторных соотношений.
2. Доказательство существования асимптотического гомоморфизма из С*-алгебры Со (К2) ® А ® К в С*-алгебру цА ® К , который индуцирует естественное преобразование КК-функтора Каспарова в Е-функтор Конна и Хигсона (указанные объекты будут определены в главе 2).
3. Доказательство асимптотической эквивалентности (Д-алгебр Со(К2)® А®К и

Мы воспользовались здесь свойством г х Ы = г для произвольного г, которое легко проверяется. Действительно,
г х Ы = 1(Ы) о» Р'х(г) = рА о, /?_1(г) =, /?(»/3_1(,г)) = г.
Итак,
*/ =* 7"1 °. Р (2-6)
2) Докажем, что =, р~1 о, 7.
Пусть ф £ [[
•д(Ф) =. Р~1{*т(Ф))-
Таким образом,
*9 =» Р~г °* 7 (2.7)
Из (3.4.6) и (2.7) мы получаем */ о, д = гс[ и ,(70./ = гД □
Теорема 2.2
0) У 0 / = ^С0(К2)®Л«К>
(и) /°2 = гД,А®кДоказательство. (1) По Лемме 2.2.5, д,° !* = г! и, следовательно, 7 о / о ф = ф для любою ф £ ИДВ,Со(К2) ® А ® К). Положим В = А® К, ф = гМс0(к2)®А«к- Тогда
г^с0(к2)«А®к — 3° 10 ^с0(к2)®Авк ~д°}
и (1) доказано.
(п) По Лемме 2.2.9 */ °» <7 = гб и, следовательно, / о [[дВ ® К,<А ® К]]. Полагая В = А, ф= гД,А®к, мы получаем, что гс/дА®к = / 0 У- П
Итак, С*-алгебры Со(Е2) ® А ® К и С)А ® К эквивалентны в асимптотической категории 11 мы получаем немедленно
Следствие 2.2.11 Е(А, В) = [[уА, В ® Д]] Оля любых С*-илгебр А и В.
Другое следствие обобщает результат Т. Лоринга ([18]) о том, что каждый асимптотический гомоморфизм из qC в произвольную С’-алгебру В гомотопен ^-гомоморфизму.
Следствие 2.2.12 Пусть А и В — С*-алгебры, В стабильна и А ядерная. Тогда любой асимптотический гомоморфизм из дЛ и В гомотопен *-гомоморфизму из Доказательство. Мы должны доказать, что отображение Т : [уА, В] —> [[уА, В]], которое отображает каждый ^-гомоморфизм в себя, является изоморфизмом групп. Рассмотрим следующую диаграмму.