Стереотипные алгебры и двойственность для групп Штейна

• Автор: Акбаров, Сергей Саидмузафарович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 356 с. : ил.

Оглавление
Введение
(a) Общие сведения о диссертации
Актуальность темы
Цель работы
Тезисы, выносимые на защиту
(b) Краткое описание результатов
Задача обобщения понтрягинской двойственности,
Особенное положение банаховых пространств в функциональном анализе
Стереотипная теория, как альтернатива банаховой
Преобразование Гротендика и стереотипная аппроксимация.
Проективные стереотипные алгебры и модули
Стереотипные алгебры Хопфа
Жесткие алгебры Хопфа
Оболочка Аренса-Майкла стереотипной алгебры
Понтрягинская двойственность в комплексном анализе и
ее обобщение
Голоморфная рефлексивность квантовой группы ‘аг + Ь
Благодарности
Соглашения и обозначения

1 ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ЛОКАЛЬНО ВЫПУКЛЫХ ПРОСТРАНСТВ
§ 1 Псевдополнота и псевдонасыщенность
(a) Вполне ограниченные и емкие множества
(b) Псевдополнота и псевдоиополнение (функтор V)
Функтор V
Инъективный ряд
Конструкция Хч
(c) Псевдонасыщенность и псевдонасыщение (функтор А)
Функтор Л
Проективный ряд
Конструкция ХА
§ 2 Функтор двойственности *
(a) Двойственность между вполне ограниченными и емкими множествами
(b) Равностепенная непрерывность функционалов и операторов
(c) Отображение %х '■ X —> X** и двойственность между псевдополнотой и псевдонасыщенностью
(б) Двойственность между функторами V и А
Двойственность между V и Л
Двойственность между инъективным и проективным рядом.
Двойственность между V и А
§3 Таблица инвариантов
2 СТЕРЕОТИПНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
§ 1 Стереотипные пространства

(a) Определение и примеры
(b) Категория стереотипных пространств ©1е
Непосредственное подпространство и непосредственное фактор-
пространство
Предабелевость категории ©1е
Полнота категории ©1е
§ 2 Важные классы стереотипных пространсв
(a) Пространства Банаха и Смит
Определение и характеризация пространств Банаха и Смит.
Пространство Смит, порожденное компактом
Проективные системы Банаха и инъективные системы Смит. 89 Банахово представление пространства Смит
(b) Пространства Фреше и Браунера
Определение и характеризация пространств Фреше и Браунера
Пространство Браунера, порожденное расширяющейся последовательностью компактов
Инъективные системы пространств Банаха, порожденные
компактами
(c) Двойственность между различными классами стереотипных пространств
§ 3 Функторы У : X и г : {Х,У)
(a) Вполне ограниченные множества в У : X
(b) Сохранение полной ограниченности операциями *, V, А, V, А
(c) Дроби /3 : а
(0) Дроби В : А

(это всегда так, если, например, Н - ядерное пространство Фреше). Тогда задание структуры проективной стереотипной алгебры Хопфа на Н эквивалентно заданию структуры инъективной стереотипной алгебры Хопфа на Н. Такие (одновременно проективные и инъективные) алгебры Хопфа мы будем называть жесткими стереотипными алгебрами Хопфа.
Среди групповых алгебр Хопфа, перечисленных выше, последние три - £*((?), О*(С), 7?.*(Сг) — являются жесткими алгебрами Хопфа.
Оболочка Аренса-Майкла стереотипной алгебры. Понятие оболочки Аренса-Майкла, которое понадобится нам ниже (в диаграмме (0.0.11)), можно воспринимать как одну из категорных реализаций идеи наблюдаемости, пришедшей в математику из физики [53]. Исходную физическую идею здесь можно выразить так: при изучении каких-то объектов некоторые детали в них неизбежно остаются скрытыми для наблюдателя, а то, что можно различить, зависит от используемых инструментов; как следствие, изучению всегда подвергается не собственно исходный объект, а некий его образ, получающийся в результате огрубления. Это тривиальное наблюдение, будучи аккуратно формализовано на языке теории категорий, неожиданно становится инструментом, позволяющим доказывать довольно глубокие утверждения (которые до того и сформулировать было невозможно). В следующих построениях роль исходного изучаемого объекта принадлежит стереотипной алгебре А, роль инструментов наблюдения - классу банаховых алгебр, а результатом огрубления будет оболочка Аренса-Майкла АР.
Определение 0.0.7. Морфизм стереотипных алгебр о : А —> А! называется расширением Аренса-Майкла, если для любой банаховой алгебры В и