Гипергеометрические функции многих комплексных переменных

• Автор: Садыков, Тимур Мрадович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Красноярск
• Количество страниц: 260 с.

Оглавление
Введение

1. Характеристическое многообразие двумерной гипергео-

метрической системы уравнений

1.1. Многомерные гипергеометрические системы

1.2. Некоторые свойства системы уравнений Горна

1.3. Биномиальные идеалы коразмерности

1.4. Л-гипергеометрические решения системы Горна

1.5. Решения гипергеометрических систем в классе многочленов Пюизо и решения разностных уравнений с конечным носителем

1.6. Решения гипергеометрических систем, определяемых решетками

1.7. Голономность и решения системы Нв(с)

1.8. Начальные идеалы, индексные идеалы и голономные ранги
1.9. Явная конструкция гипергеометрических функций с полным носителем
1.10. Голономность системы уравнений Horn (В, с)
1.11. Использование свойства Коэна-Маколея для вычисления голономного ранга и дальнейшие направления исследований
2. Интегральное представление для решений гипергеометри-
ческой системы уравнений
2.1. Система разностных уравнений для веса интегрального представления
2.2. Решение системы разностных уравнений

2.3. Условия трансляционной инвариантности контура интегри-
рования
2.4. Достаточное условие существования интегрального преобразования
2.5. Представление решений гипергеометрической системы в виде кратных рядов (случай простых особенностей)
3. Дифференциальный аналог теоремы Везу для числа голоморфных решений гипергеометрической системы
3.1. Условия разрешимости, гипергеометрические ряды и их носители
3.2. П-модуль, ассоциированный с гипергеометрической системой уравнений
3.3. Базис в пространстве голоморфных решений гипергеометрической системы с коммутирующими операторами
4. Детские рисунки и дифференциальные уравнения
4.1. Дискретная проблема Римана-Гильберта
4.2. Случай трех особенностей. Детские рисунки
4.3. Построение явного решения проблемы Римана-Гильберта
для деревьев
4.4. Аннулятор отображения, обратного к полиномиальному
4.5. Деревья Мебиуса
4.6. Деревья не более чем второго порядка
5. Произведение Адамара гипергеометрических рядов
5.1. Многоугольник коэффициента неконфлюэнтного гипергео-метрического ряда
5.2. Мультипликативность произведения Адамара
5.3. Примеры
6. Особенности гипергеометрических функций многих комплексных переменных
6.1. Основные обозначения и определения

6.2. Решения гипергеометрической системы в классе рядов Пю-

6.3. Веер гипергеометрической системы уравнений
6.4. Минимальность особенностей гипергеометрических функций и дискриминантов
6.5. Рациональность мероморфных неконфлюэнтных гипергеометрических функций
6.6. Рациональные гипергеометрические функции, контигуально эквивалентные ядрам Бергмана
7. Алгебраичность решений системы уравнений Меллина и
ее монодромия
7.1. Порождающие решения и удобные базисы в пространстве решений системы Меллина
7.2. А-гипергеометрические системы уравнений и их связь с системой Меллина
7.3. Решения системы Меллина в терминах корней алгебраического уравнения
7.4. Одномерный случай
Заключение
Указатель обозначений
Список литературы
Работы автора по теме диссертации

С торическим идеалом 1А и вектором параметров можно естественным образом связать систему дифференциальных уравнений в частных производных. Эта система называется А-гипергеометрической системой с вектором параметров А - с и определяется следующим образом:
На(А с) = 1Л+ aijxj®Xj - {А c)i i = I
В дальнейшем мы будем для краткости использовать обозначение (А в — А - с) вместо (Xp=i aijxjdX} — {А c)i : i = 1
Л-1'ипергсометрические системы уравнений были впервые рассмотрены Гельфандом, Граевым и Зелевинским в [9J. Их систематическое изучение было начато циклом работ Гельфаида, Капранова и Зелевинского (см., например, [13]). Сайто, Штурмфельс и Такаяма использовали деформации Гребнера в алгебре Вейля для изучения И-гииергеометричес-ких систем (см. [96]). В настоящей главе мы применим этот метод для изучения гипергеометрических систем Горна.
Гельфанд, Граев и Ретах рассматривали также гипергеометрическую систему уравнений, ассоциированную с решеткой Lg = {В z : z €. Zm}, которая по определению задается следующим левым идеалом в алгебре Т>п:
1В + (А в - А с) СР„.
Рассмотрим левый идеал Нв{с) в алгебре Т>п, который тесно связан с системой Горна Horn (В, с) и определяется следующим образом:
Нв{с) = I + (А 9 - А с) СД,
Согласно результатам параграфа 1.4, для достаточно общих значений вектора параметров с имеет место изоморфизм линейных пространств голоморфных решений систем уравнений Horn (В, с) и Нв(с). Таким образом, гипергеометрические функции Горна могут рассматриваться с двух различных точек зрения. Идеал Hg(c) мы будем также называть системой Горна в случаях, когда ясно, о какой системе уравнений идет речь.
Замечание 1.1.3. В нашем определении операторов Горна индекс, по которому берется произведение, вычитается из параметра системы, так