О формулах следов для обыкновенных дифференциальных уравнений с особенностями

• Автор: Тулькубаев, Ринат Закирович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Уфа
• Количество страниц: 95 с.

Содержание
0 Введение

1 Асимптотика спектра и формулы следов для

дифференциальных уравнений с неограниченными коэффициентами

1.1 Асимптотика спектра и собственных функций дифференциального уравнения второго порядка

1.2 Формулы следов для дифференциальных уравнений с неограниченными коэффициентами

2 Асимптотика спектра и формулы следов для

дифференциальных уравнений Бесселя

2.1 Асимптотика спектра дифференциального уравнения Бесселя

2.2 Формулы следов для дифференциальных уравнений Бесселя

3 Асимптотика спектра и формулы следов для

дифференциальных уравнений четвертого порядка
3.1 Асимптотика спектра дифференциального уравнения четвертого порядка
3.2 Формулы следов для дифференциальных уравнений четвертого порядка
Список литературы

О Введение
В общей спектральной теории операторов важным разделом является спектральная теория дифференциальных операторов. Результаты, полученные в этой области, находят многочисленные применения при исследовании задач математической физики. В частности, теория возмущений исследует возмущения собственных значений и собственных функций некоторой задачи, вызываемые небольшим изменением условий задачи.
Изучению дифференциальных операторов с дискретным спектром посвящено большое количество работ. Начало изучению этого вопроса было положено в 30-х годах XIX века в работах Штурма и Лиувилля [45], [46], в которых был рассмотрен оператор
второго порядка на конечном интервале и с непрерывными коэффициентами (так называемый регулярный случай). Основы спектральной теории для сингулярных операторов были заложены Г. Вейлем в его работе [47]. Своим дальнейшим прогрессом теория сингулярных дифференциальных операторов обязана Э. Шредингеру [43], [44]. В первом из этих заметок, Шредингер получает стационарное уравнение для электрона, известное под его именем, и этим закладывает математический фундамент квантовой механике. Под влиянием успехов квантовой механики в середине 20 века, в печате систематически появляются работы по спектральному анализу. Начиная с 1950 г., в отечественной литературе публикуются исследования по спектральному анализу

дифференциальных операторов высших порядков и по изучению природы спектра многомерных сингулярных краевых задач.
Впоследствии свое развитие получили два основных метода изучения спектра: аналитический и теоретико-операторный. Эти два метода в определенной мере соответствуют асимптотическому методу Лиувилля и вариационному методу Куранта.
Аналитическое направление опирается на асимптотические методы и аппарат теории аналитических функций. Аналитическим методам в теории дифференциальных операторов второго порядка посвящены работы Е.Ч. Титчмарша [38], Б.М. Левитана [14]. Из результатов относительно природы спектра дифференциальных операторов высших порядков, достигнутых аналитическим путем, следует отметить И.М. Рапопорта [24], и некоторые результаты М.А. Наймарка [23].
Теоретико-операторные методы по-другому можно назвать прямыми методами качественного спектрального анализа. Развитие теоретико-операторных методов исследования спектра было подготовлено работами Г. Вейля, Р. Куранта [13].
Достаточно полный обзор различных вопросов спектральной теории дифференциальных операторов дан в [25], там же можно найти подробную библиографию по этой тематике.
К настоящему времени разработаны достаточно много методов нахождения асимптотики спектра дифференциальных операторов, в основном на отрезке. Для задачи Штурма-Лиувилля на отрезке также решен вопрос об асимптотическом представлении собственных

Уравнение (1.33) перепишется в виде
Ъ1п "Ь Доп(/п)У
Следовательно,

” / + Ло„(Мп)У
В силу леммы 1.2 в пространстве С[0, я] существует постоянная С > О, такая, что при п » 1 и цп — Лп| < для оператора К<)п(р-п)У справедлива оценка ||(.йоп(дп)У) || < ~. Тогда
ип = £(-1)"*[До МУ]т1п = /„ - До МУ и + Фп, (1.34)

где ф| = 0(2). В тождестве Гильберта (1.16), взяв Л = и
подставив в равенство (1.34), получим
ип = 1п~ Яоп(А„)У/„ + (1-35)
где =0()-
Нормируя последовательность функций ип, получаем
последовательность фп — спип, где

ІКІІ
= ( 1 + || Лоп(А„)У /„|| + О

то есть
Сп - 1 + О (
(1.36)
Тогда из (1.35) и (1.36) вытекает, что нормированная последовательность {фп}™=1 собственных функций оператора Н имеет асимптотику
Фп /п Г2оп(Ап)У/п Т Фпі ГДЄ

= °(~