Формулы Фейнмана для эволюционных уравнений над полем ρ-адических чисел

• Автор: Белошапка, Ольга Валериевна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 62 с. : ил.

Оглавление
1 Введение

2 Формулы Фейнмана для уравнений типа теплопроводности с оператором Владимирова

2.1 Предварительные сведения и обозначения

2.2 Уравнения теплопроводности с оператором Владимирова

2.3 Формулы Троттера и Чернова как источники формул Фейнмана

2.4 Полугруппа, порождаемая оператором Владимирова

2.5 Формулы Фейнмана

3 Формулы Фейнмана-Каца для уравнений типа теплопроводности с оператором Владимирова

3.1 Построение меры типа винеровских

3.2 Стохастическая непрерывность

3.3 Формулы Фейнмана-Каца
4 Формулы Фейнмана для уравнения теплопроводности в пространстве последовательностей над полем р-адических чисел
4.1 Предварительные сведениия и обозначения

4.2 Построение счетно-аддитивной меры
на конфигурационном пространстве
4.3 Постановка задачи Когаи для уравнения теплопроводности
4.4 Существование и единственность решения
4.5 Формулы Фейнмана

Глава
Введение
Диссертация посвящена представлению решений некоторых эволю-ционнных уравнений над полем р-адических чисел с помощью формул Фейнмана и Фейнмана-Каца.
Формулой Фейнмана называется представление решения задачи Коши для эволюционного дифференциального или псевдодиффе-ренциального уравнения в виде предела интегралов по декартовым произведениям некоторого пространства при стремлении числа сомножителей к бесконечности.
Формулой Фейнмана-Каца называется представление решения той же задачи с помощью интеграла по траекториям в том же пространстве. При этом кратные интегралы в формуле Фейнмана совпадают с интегралами, являющимися конечнократными аппроксимациями интегралов по траекториям.
Связь между эволюционными уравнениями и интегрированием но пространству траекторий впервые явно была описана Р. Фейнманом. В его статье, опубликований в 1948 году решение уравнения Шредипгера представлено в виде функционального интеграла, определяемого как предел последовательности эффективно вычисляемых интегралов по конечному произведению конфигурационных пространств. Несмотря на то, что рассуждения Фейнмана

есть 5{А) — 1 при О Э А и 5(А) = О иначе. Тогда сдвиг меры будет определяться следующей формулой:
т,а,х(А) = х' А) = mt,n (А~ х),
для каждого х 6 Qp" и каждого борслевского А С Qp.
Замечание 7 По формуле 5, оператор свертки с функцией Ва, действующий на. область определения Dn С L2, совпадает с оператором свертки с мерой mt Лемма 3 Для любой, f Є интеграл „ f(y)m(t,$.dny)
сходится для всех х Є QP7Î и как функция от этой переменной является представителем, класса Ь2.
Доказательство.
□ Поскольку функция Ft, являющаяся плотностью меры mt, принадлежит классу Lі, то в силу формулы (И) раздела (20.19) книги [12|, применимой к локально компактной абелевой аддитивной группе, получаем
Ft* f = mt* f = f f(y)m{t, x, dny) є L2.

Замечание 8 В силу симметричности функции Ft т~ * f = т* /. (2.6)
В предыдущем пункте мы получили явные выражения для экспоненты от оператора Da в пространстве L2. Экспонента e^v^ от ограниченного оператора t > 0 описывается проще, так как может быть представлена рядом Тейлора ^tn(v-)n, сходящимся