Равномерная непрерывность неаддитивных функций множества и их применение к векторному интегрированию

• Автор: Никифоров, Вячеслав Михайлович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1985
• Место защиты: Куйбышев
• Количество страниц: 108 c. : ил

ЕВЭДШИЕ

Глава I. НЕНРБРЫШОСТЬ АБСОЛЮТНО ПОЛУАДЦИТИШЫХ ФУНКЦИЙ ШОЖЕСТВА

§ I. Обозначения, определения и некоторые

свойства функций множества

§ 2. О продолжении свойства [РОУ /-^J ,

§3.0 равностепенной абсолютной непрерывности

Глава 2. НЕКОТОРЫЕ ГЙМШШЫЯ СВОЙСТВА САКСА

§ 4. Обобщение теоремы Сакса

§ 5. Ограниченность вариации векторной функции множества

§ 6. Ограниченность полу вариации векторной

функции множества и теорема Бартла

Данфорда - Шварца
§ 7. Свойство Дарбу
Глава 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ВЕКТОРНОЙ ФУНКЦИИ ПО ВЕКТОРНОЙ МЕРЕ
§ 8. Основные определения и теоремы теории
интегрирования, построенной Бартлсм . . . .с77 §0.0 переходе к пределу под знаком интеграла Бартла
ЛИТЕРАТУРА

Теория меры и интеграла превратилась к настоящему времени в весьма обширную область функционального анализа, имеющую многочисленные применения в различных разделах математики.
Существует два подхода к определению меры и возможности образования интеграла. Один из них обычно называется "слабой" теорией, в которой векторная мера на локально компактном цространстве Т определяется как непрерывное линейное отображение пространства А! X 7~) непрерывных на Т числовых функций в отделимое локально выпуклое пространство X . Интегралом относительно меры У называют элемент из X * , определяемый формулой /Ё7/.
< х' уухг) <& X > -у/аХ Хх'°
В "слабой" теории широко применяется теория топологических векторных пространств и, в частности, теория двойственности.
В так называемой "сильной" теории понятие интеграла основывается на понятии меры /21/, /37/, как счетно аддитивной функции множества, определенной на некотором классе подмножеств множества Г . В этсм случае одним из основных методов изучения мер является метод мажорирования на меру свойств неотрицательной функции множества, к которой не предъявляется требование аддитивности /см., например,
/7/, /13/, /И/, М/. о функциями множества, не обязательно аддитивными, тесно связаны также теория вероятности /31/ и теория игр /34/.

Поэтому в последние годы одним, из главных направлений развития теории меры и интеграла является изучение различных классов неаддитивных функций множества /см . /б/, /7/, /12/, /13/, /36/, /48/, /52//.
Изучение таких классов функций множества позволяет, с одной стороны, проникнуть в сущность и взаимосвязь изучаемых свойств, с другой - получить новые результаты в классической теории меры /см., например, /з/, /б/, /8/, /19/, [щ]/• В связи с этим в диссертации основное внимание уделшо изучению свойств неаддитивных функций множества, а также развиты приложения полученных результатов в теории векторного интегрирования.
Интегрирование векторных функций по отношению к векторной мере было рассмотрено Гавурином. /18/, Бохнером и Тейлором /44/. Бти интегралы - типа интеграла Римана - построены по методу так называемого билинейного интеграла, в основе которого лежит векторнозначная билинейная функция, связывающая пространство значений векторной меры с пространством значений интегрирушой векторной функции. Билинейные интегралы типа Лебега были построены Прайсом /58/, Риккартом /59/, Дэйем [М]. Аналогичным образом Бартл /41/ построил теорию интеграла лебеговского типа для случая, когда интегрируемая функция и мера принимают значения из разных линейных нормированных пространств. Основные положения этой теории мы приводим в параграфе 6.
В настоящей работе рассмотрены вопросы предельного перехода под знаком интеграла Бартла.
Необходимо отметить, что теоремы о предельном пере-

Положим

4 6,
Г=Х £,и
Очевидно, что
^ир(^в), £еА?^^)л£ , о < май€} <
и следовательно
Щё {<ХХ8), веХе "Х)л£, о < <РХв)Р £} = о Ху)
Поэтому ¥>Хс ^г) = о.
Действительно, если это не так, то в силу пункта П теоремы существует такое множество , ЧТО
О с ¥>Х6)& €.
Но тогда
що (УХ#), 8е Хс ^Г)п£, о<¥>Х£)^€}>о
что противоречит соотношению /I/. Поскольку по условию функция 9* непрерывна сверху в нуле на £ , то существует такой номер П0 , что
Ч>(. и £„.Л*£
Пусть
£ - и £ £ =с ^ .и £. = £
Р+"0+* <'*л0+* РН ’ Р+*о*Р <•=/ />+*•
Очевидно, множества
£* ) ^2 I 1 ’ ■ *У> > ^Р+х > ^Р+Н0 > ^Р + По+Х > ^Р+л0+2 >
удовлетворяют требованиям теоремы.
Что требовалось доказать.