Полиномиальные приближения на подмножествах комплексных эллиптических кривых

• Автор: Хаустов, Александр Викторович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 61 с.

1 Введение

1.1 Краткая история вопроса

Рассмотрение вопроса о приближении аналитическими полиномами функций, заданных на подмножествах комплексной плоскости, в силу теоремы Вейерштрасса и свойств аналитических функций необходимо приводит к выделению классов функций, аналитических на внутренности множества и непрерывных на его замыкании.
Рунге установил возможность сколь угодно хорошего приближения функции полиномами для случая, когда функция / является аналитической на произвольном компакте с односвязным дополнением, Уолш — для случая, когда 9Я — произвольная ограниченная жорданова дуга или односвязная область, ограниченная жордановой кривой, / € А(Ш). М.А. Лаврентьев указал необходимые и достаточные условия на компакт Ш, при которых любая непрерывная на нем функция может быть сколь угодно хорошо приближена полиномами. Обобщением этих исследований явилась теорема С.Н. Мергеляна, утверждающая, что если множество Ш замкнуто и не разбивает плоскость, то любую функцию из А(ЯЯ) можно сколь угодно хорошо равномерно приблизить полиномами.
Следующий вопрос, который представляет интерес — каким образом строить многочлены, хорошо приближающие функции из А(Ш). Большинство способов их построения основывается на формуле Коши
(мы ограничимся здесь рассмотрением случая, когда Ш является замкнутой областью со спрямляемой границей: ЯЛ = Г>) и различных способах представления ядра
(1)

Коши в виде ряда:

— = гЄИ, ( є дБ,

(2)
где с„(С) — некоторые функции, обладающие достаточно хорошими свойствами (например мероморфные в Б и непрерывные на дБ), а Рп(г) — полиномы от г степени не выше п. Предполагая, что ряд (2) может быть проинтегрирован почленно, получим из (1)
Таким образом частичные суммы ряда (3) доставляют искомое приближение функции /. Удобство этого представления состоит еще и в том, что коэффициенты ряда (3) зависят только от функции /, а полиномы Рп(г) — только от множества Ш.
Важную роль в теории приближений играют так называемые полиномы Фабера. Пусть Ш — замкнутое множество на плоскости, дополнение к которому односвязно. Рассмотрим функцию Ф(г), однолистно и конформно отображающую внешность Ш на внешность единичного круга, удовлетворяющую условию
(3)
Ф(С)
О < ІІШ —7— < 00.
С-ЮО С

В окрестности точки г = оо имеет место следующее разложение

Полиномами Фабера Рп(г) называются полиномы, состоящие из совокупности членов с неотрицательными степенями в этом разложении:
^пО) = с^гп + ... +
Функция
Ф '(и)№
Ф(да) — г ■" да"
где Ф = Ф-1, называется производящей функцией полиномов Фабера. Если ГОТ — замкнутая область с достаточно гладкой границей, то во всех точках 1пТ ГОТ имеет место разложение
Обозначим при Л >
Ьк = Ф({* : г = Л}),

Для доказательства этого неравенства мы построим теперь некоторое разложение функции / в ряд.
Для выбранных весов в области Лаврентьева Б справедливы ([7]) следующие нераг венства
'гег'
Здесь С'э = Сд(Б), Сю = Сю{Б), «2 = «2(0), кз = кз(О). Отсюда заключаем, что для произвольного Ь > 0 справедливы неравенства
09ЬЛ2 > ^ СюЬ**, г е Г.
дь"(г)
Фиксируя Ь так, чтобы выполнялось условие
■ = СюЬКз > 1 (25)
и полагая Я = СдО*2, получим неравенства
Я > ^ г > 1; ПРИ г е Г, (26)
где Я = Д(О), г = г(О), I = 1(0).