Сходимость почти всюду рядов Фурье и смежные вопросы

• Автор: Антонов, Николай Юрьевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Екатеринбург
• Количество страниц: 162 с.

Содержание
Введение

Глава 1. Условия конечности мажорант последовательностей операторов и сходимость рядов Фурье
§ 1.1. Введение
§ 1.2. Основная теорема
§ 1.3. Сходимость тригонометрических рядов Фурье и рядов
Фурье-Уолша
§ 1.4. Оценки скорости роста сумм Фурье
Глава 2. Поведение сумм Фурье функций с ограничениями на L1 -модуль непрерывности
§ 2.1. Обозначения и формулировки используемых известных результатов
§2.2.0 расходимости рядов Фурье функций из Щ
§2.3. Условия интегрируемости мажорант сумм Фурье
§2.4. Вспомогательные предложения
§ 2.5.0 расходимости подпоследовательностей сумм Фурье функций с ограничениями на интегральный модуль непрерывности
§ 2.6. Расходящиеся почти всюду подпоследовательности
сумм Фурье функций из Глава 3. Поведение последовательностей кратных прямо-
угольных сумм Фурье

§ 3.1. Введение
§ 3.2. Вспомогательные утверждения
§3.3. Основные леммы
§ 3.4. Сходимость почти всюду последовательностей кратных прямоугольных сумм Фурье
§3.5.0 скорости роста последовательностей кратных прямоугольных сумм Фурье
Список литературы

Введение
§0.1.
Пусть / — определенная на действительной оси 2тт -периодическая вещественнозначная интегрируемая по Лебегу па периоде функция,

«fc = — / /(£) cos Ы dt, к = 0,1, 2
7Г J ’

= — J f(t) sin ktdt, k = 1,2
— ее коэффициенты Фурье и

— + (а*, соэ /ст + Ьь вт Атг) (0.1.2)

— тригонометрический ряд Фурье функции /. Как известно, гг -ая частичная сумма 5„(/, т) ряда (0.1.2) может быть представлена в следующем виде:
а 1 }
Зп{/,х) = + (акСОвкх + ьк8ткх) = - / £>„(/;)/(ж + *)<#,
2 т—; 7Г ,

внфп + 1/2)
г-=1 где
Dn{t)
2sin(t/2)
— ядро Дирихле.
Определим также

sin fcx — cos fc.x) (0.1.3)

— сопряженный ряд ряда (0.1.2). Тогда п-ая частичная сумма Sn(f,x) ряда (0.1.3) представима в виде

Sn(f, х) = (afc sin кх — bk cos кх)
fc=i

Глава 1. Условия конечности мажорант последовательностей операторов и сходимость рядов Фурье
§ 1.1. Введение
Пусть А = [а, /3] — некоторый отрезок, А > 0 , <р : [А, +оо) —> [0, +оо)
— неубывающая функция. Обозначим через p(L) = J ¥>о(|/(*)1У* < оо,

где ipo — функция, совпадающая с у на [А, +оо) , и равная нулю в остальных точках полуинтервала [0, +оо) . Отметим, что данное определение в частном случае А = 0 совпадает с определением класса Как уже говорилось во введении, в 1966 году Л.Карлесон [25] доказал, что если / Е L2{{0,27г)) , то тригонометрический ряд Фурье функции / сходится почти всюду. Используя метод Карлесона, Р.Хант [35] распространил утверждение о сходимости почти всюду тригонометрических рядов Фурье на функции из классов Лр([0,27г)) , р > 1, и A(log+ L)2([0, 2тг)) . (В настоящей главе нам будет удобно использовать log и = log2 и, и > 0,
— логарифм но основанию 2 . Будем также в этой главе полагать, что log+ii == maxjlogrp 0} , и > 0 . Как нетрудно видеть, изменение функции log+ и в некоторой окрестности нуля, а также изменение основания логарифма не приведут к изменению рассматриваемых ниже классов Напомним, что через М(/, х) мы обозначаем мажоранту частичных