Системы экспонент в весовых гильбертовых пространствах на R

• Автор: Башмаков, Рустэм Абдрауфович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Уфа
• Количество страниц: 109 с.

1 Геометрические характеристики выпуклых функций и асимптотика интегралов Лапласа
1.1 Асимптотика интегралов Лапласа
1.2 Геометрические характеристики выпуклых функций и их свойства
1.3 Преобразование Фурье-Лапласа и функция Бергмана
2 Базисы Рисса в пространстве Ь2(1,схрЛ)
2.1 Необходимое условие базисности системы экспонент в пространстве Ь2(1, ехр/г)
2.2 Условия отсутствия базисов Рисса из экспонент в пространстве Ь2{1,ехр/г)
3 Полнота и минимальность систем экспонент в пространстве А2(/, ехр/г)
3.1 Целые функции с заданной асимптотикой
3.2 Функции типа синуса
3.3 Полнота системы экспонент в пространстве Г2(/,ехр/і)
3.4 Минимальность полной системы экспонент в пространстве Ь2(1, ехр/г)
4 Дискретные слабо достаточные множества
4.1 Основные факты и существование дискретного слабо достаточного множества
Библиография

Диссертация посвящена проблеме разложения в ряды из экспонент элементов гидьбертова пространства Ь2(1, ехр /(), в частности вопросам существования базисов Рисса, вопросам полноты и минимальности систем экспонент.
Пусть I — интервал вещественной оси, /г(£) — выпуклая функция на этом интервале и Ь2(1, схр /г) пространство локально интегрируемых функций на /, удовлетворяющих условию

Оно является гильбертовым пространством со скалярным произведением
(/>£г) = ^/(*М*)е Щь)&.
Определение. Семейство (еА*(, к = 1,2,...} называется безусловным базисом в пространстве Ь2(1, ехр/г), если
1) семейство {еА*(, к = 1,2,...} полно в пространстве Ь2(1, ехр/г);
2) существуют положительные постоянные т, М такие, что для любой конечной последовательности а* € С справедлива двусторонняя оценка
1£ы211ел*т<||;х>еА*г||2 <м£ы2цеА“ц2. (2.1)

Мы здесь придерживаемся определения из работы (43). Как отмечено в этой работе, если система {еАк(} образует безусловный базис в пространстве Ь2(1, ехр/г), то любая функция / Є Ь2(7, ехр/і) единственным образом разлагается в безусловно (перестановочно) сходящийся ряд по этой системе:

= і Є /. (2.2)

Известно, что если система {еХкг, к — 1,2,...} образует безусловный базис Рисса в пространстве X, то любой элемент / этого пространства представляется единственным образом в виде суммы ряда по данной системе экспонент:

Дг) = £>еЛ*г.

Поэтому задача о существовании базисов Рисса относится к проблематике представления функций посредством рядов экспонент.
В диссертации показывается, что базисы Рисса из экспонент достаточно редкое явление. Приводятся необходимые условия базисности систем экспонент в пространстве L2(I.cxph), условия отсутствия базисов из ъкспонент и обсуждаются вопросы полноты и минимальности систем экспонент в L2(I. exp h).
Тема представления функций посредством рядов экспонент стала объектом пристального внимания многих математиков после появления в 19С5 году работы А. Ф. Леонтьева [26], в которой было показано, что при некоторых А* можно указать области D, в которых произвольные аналитические в замкнутой области D функции допускают разложение в ряд по системе экспонент exp(Aiz). За последующие два десятилетия
A. Ф. Леонтьевым и его учениками и коллегами была создана стройная теория представления рядами экспонент, в которой были изучены и примыкающие вопросы - теоремы единственности, восстановление функций по коэффициентам и т.д. Результаты в этом направлении подытожены в монографиях [25], [27]. [28].
С начала семидесятых годов под влиянием таких работ как L. Ehrenpreis ((59]), В. A. Taylor ([62]), P. Oliver ([60]), D. М. Schneider ([61]),
B. В. Напалков ([41], [42]). в данной проблематике систематически стали применяться методы функционального анализа. В классической теории рядов экспонент сходимость рядов рассматривалась как сходимость в естественной топологии равномерной сходимости на компактах. Одним из следствий функционального подхода стало изучение сходимости рядов в различных топологиях счетно нормированного типа. Другими словами, стало возможным представление рядами экспонент функций из заданного локально выпуклого пространства, с естественным условием, что ряды сходятся в топологии этого пространства. Еще одним следствием функционального подхода явилось распадение проблемы представления рядами экспонент на две составляющие задачи: описание сильно сопряженного пространства в терминах преобразования Лапласа и построение целых функций с заданной асимптотикой. В связи с тем, что каждая из этих составляющих задач имеет применения в других проблемах ком2.1. Необходимое условие базиспостп системы экспонент

Доказательство. В силу соотношения (2.7) для любого Л выполняется оценка
(2-14)
Существует такой номер п, что
К(А„) . ( К(А*)
= пип
ИА„)|2 л*ев,|ВД12У'
По пункту 3 теоремы 2.2 для точек А, лежащих на границе круга В ^А„, — справедлива оценка 20Г

20ДЇ
ь*г‘ ' “ |п;л„)Г'г>(.>.Г1]

т < 4258ри
1ДА)|2 " |£/(Ап)|2т2(Ап)’
Отсюда и из оценки (2.14) получим
К(Хк)
2г8р11 ^(Ап) > І. _
ИАп)|2г2(Ап)-Рд^|і'
№)|2|а-а,|2'
Учитывая выбор номера п, для точек А на границе В ^Ап, —Ц-т(А„)^ имеем ":!‘
42г8р11 > 1 К{п) ул
|ВД|2г2(Ап) -Р|1'(Ап)|2д^|А-А,|2

^ 1 4258Р12 . .
<15)
По пункту 2 теоремы 2.2 для указанных точек А при к Ф п выполняется оценка
|А — Ад;| < |А — А„| + |АП — А^| < -|АП — А^|, поэтому из (2.15) вытекает оценка
1 _ (5Р)12
|А„-А»Р < Л„У
Е -<
ь£.В,кфп
Теорема 2.3 доказана. □