Четырёхэлементные краевые задачи типа Римана в классах метааналитических функций в круге

• Автор: Букачев, Дмитрий Сергеевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Смоленск
• Количество страниц: 128 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ И ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ

1.1. Основные обозначения и понятия

1.2. Один метод решения четырехэлементной краевой задачи Римана

в классах аналитических функций

1.3. Исследование картины разрешимости четырехэлементной краевой задачи Римана в классах аналитических функций

1.4. Вспомогательная краевая задача в классах аналитических функций.

1.5. Краткий обзор литературы по краевым задачам в классах полианалитических и метааналитических функций
ГЛАВА П. ОСНОВНЫЕ ЧЕТЫРЁХЭЛЕМЕНТНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ТИПА РИМАНА В КЛАССАХ МЕТААНАЛИГИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ ПЕРВОГО ТИПА В КРУГОВОЙ ОБЛАСТИ
2.1. Постановка первой основной четырёхэлементной краевой задачи типа Римана в классе кусочно метааналигических функций
2.2. Решение задачи СЛ’,, в классе кусочно метааналигических функций первого типа в круговой области
2.3. Исследование картины разрешимости задачи ОТ?4| в классе кусочно метааналитических функций первого типа
2.4. Постановка второй основной четырёхэлементной краевой задачи типа Римана в классе кусочно метааналитических функций
2.5. Решение и исследование картины разрешимости задачи СЯ42 в классе кусочно метааналитических функций первого типа в круге
ГЛАВА III. ОСНОВНЫЕ ЧЕТЫРЁХЭЛЕМЕНТНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ТИПА РИМАНА В КЛАССАХ МЕТААНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ ВТОРОГО ТИПА В КРУТОВОЙ ОБЛАСТИ
3.1. Исследование задачи ОЯ41 в классах метааналитических функций второго типа в круге
3.2. Один частный случай задачи СР41 в классах метааналитических функций второго типа, допускающий эффективное решение
3.3. Исследование задачи ОУ?42 в классах метааналитических функций
второго типа в круге
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
ВВЕДЕНИЕ

Теория краевых (граничных) задач в классах аналитических функций и различных их обобщений является важнейшей областью современного комплексного анализа.
Благодаря фундаментальным работам Б.В. Боярского [12], И.Н. Векуа [22], Н.П. Векуа [24], Ф.Д. Гахова [27], Э.И. Зверовича [33], P.C. Исаханова [34]-[35], Д.А. Квеселава [37]-[38], Г.С. Литвинчука [46], Г.Ф. Манджавидзе [47], Л.Г. Михайлова [51], С.Г. Михлина [52], Н.И. Мусхелишвили [53]-[54], Л.И. Чибриковой [77] и многих других известных математиков теория линейных краевых задач в классах аналитических функций приняла, в основном, завершенный вид.
Однако для решения ряда прикладных задач, сводящихся к уже подробно исследованным краевым задачам, классической теории последних оказывается недостаточно. Возникает необходимость в расширении классических предположений, касающихся классов заданных и искомых функций, классов рассматриваемых контуров и других параметров задачи. В соответствии с возникающими потребностями исследования ведутся в следующих направлениях: обобщаются полученные ранее результаты для более широких классов заданных и искомых функций, для более широких классов контуров; рассматриваются задачи со сдвигом, а также задачи, содержащие производные искомой функции и граничные значения функции, комплексно сопряженной с искомой.
В частности, как в России, так и за ее пределами (Беларусь, Германия, Китай, КНДР, Украина, Черногория и др.) интенсивно изучаются краевые задачи для различных обобщений аналитических функций (таких как, например, полианалитические и метааналитические функции) [11], [44], [47], [58]-[65], [68], [69], [74], [76], [79], [82], [83]. Значительный вклад в развитие данного направления внесли A.B. Бицадзе [10], И.Н. Векуа [23],
В.А. Габринович [25], М.П. Ганин [26], Ф.Д. Гахов [27], В.И. Жегалов [31]-

[32], K.M. Расулов [58]-[60], [63]-[65], B.C. Рогожин [67], P.C. Сакс [69], И.А. Соколов [72]-[73], Н.Т. Хоп [76], М. Canak [80], В. Damjanovich [81], C.R. Shoe [84] и другие известные математики.
Кроме того, следует отметить, что теория граничных задач в классах функций, являющихся обобщениями аналитических функций комплексного переменного, тесно связана с различными разделами современной математики и механики [1]-[2], [8], [23], [36], [40], [43], [45], [53], [55], [57],
Настоящая диссертация посвящена исследованию четырёхэлементных краевых задач типа Римана (подробнее см., например, в [46], с. 220, 232) в классах метааналитических функций, т.е. в классах функций Р(г), являющихся решениями дифференциального уравнения
коэффициенты ак {к = 0,1) - произвольные комплексные постоянные.
Напомним, что если а0=в, = 0, то решения уравнения (0.1) называются бианалитическими функциями.
Пусть Т* — конечная односвязная область на плоскости комплексного переменного г = х+гу, ограниченная простым замкнутым гладким контуром I, а Т~ =С(т+ их), где С - расширенная комплексная плоскость.
В работе рассматриваются следующие краевые задачи.
Задача СД41.
Требуется найти все кусочно метааналитические функции класса М2(Т±)глН('Ь), исчезающие на бесконечности и удовлетворяющие на I следующим краевым условиям:
[58], [66], [74], [78], [85].
d2F(z)
(0.1)

дифференциальный оператор Коши-Римана, а
(0.2)

При выполнении условий (1.50) решение обобщенной задачи Римана (1.25) можно задавать формулами (1.27), (1.28).
Следовательно, число линейно независимых решений однородной задачи, соответствующей неоднородной задаче (1.25), равно % + у-г, а решение неоднородной задачи (1.25) линейно зависит (с учетом замечания 1.3) не более чем от %+у-г произвольных комплексных постоянных, где
V > г.
Относительно задачи Римана при 7 > 0 известно (см., например, [27], с. 110), что она безусловно разрешима, и ее решение зависит от х произвольных комплексных постоянных.
Таким образом, в рассматриваемом случае (7 > 0) общее решение векторно-матричной задачи (1.16) зависит не более чем от 2х + у-г произвольных комплексных постоянных.
Замечание 1.5. С учетом того, что при 7 > 0 в выражения, определяющие решение векторно-матричной задачи (1.16) входят произвольные комплексные постоянные, то условия «симметрии» (1.10) могут быть удовлетворены подбором подходящих значений этих постоянных.
Приходим к выводу, что в рассматриваемом случае ( 7 > 0) общее решение краевой задачи (1.6) зависит не более чем от 27 + у-г произвольных комплексных постоянных при выполнении {у-г) условий разрешимости (1.50) и условия «симметрии» (1.10).
1.2. х<0* В данном случае для разрешимости обобщенной задачи Римана (1.25) необходимо и достаточно потребовать выполнения у условий вида (см. [58], с. 49)
|(?2(г)й>Дг)Л- = 0, у = 1,2,...,и, (1-52)

где {«7 (/)}’ 1 - полная система линейно независимых над полем комплексных чисел решений однородного уравнения Фредгольма второго рода (1.51).