Обобщенные вариации в многозначном анализе

• Автор: Чистяков, Вячеслав Васильевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2001
• Место защиты: Нижний Новгород
• Количество страниц: 252 с.

Содержание
Введение

I. Отображения ограниченной обобщенной вариации

1. Классическая вариация по Жордану

1.1. Основные свойства вариации

1.2. Непрерывность и формулы для скачков

1.3. Структурная теорема

1.4. Продолжение отображений

1.5. Обобщенный принцип выбора Хелли

1.6. Отображения со значениями в ЛНП

1.7. Отображения конечной существенной вариации .

2. Обобщенная вариация по Риссу-Орличу
2.1. Отображения ограниченной Ф-вариации
2.2. Отображения со значениями в ЛНП
2.3. Пространство ОУф(Е;Х)
2.4. Метрические полугруппы отображений
3. Обобщенная вариация по Винеру-Янгу-Орличу
3.1. Основные свойства обобщенной вариации
3.2. Свойства непрерывности отображений
3.3. Пространство §'уф(£,;А'’)
3.4. Регуляризация отображений
II. Существование регулярных селекций
4. Отображения с компактными значениями
4.1. Селекции ограниченной вариации
4.2. Более регулярные селекции
4.3. Представления многозначных отображений

4.4. Мультиселекции ограниченной вариации
4.5. Селекции на произведении двух пространств
4.6. Функциональное включение f(t) € F(t,f(t)) . . .
5. Отображения с выпуклыми компактными образами
5.1. Селекции со свойством f(t) € dF(t)
5.2. Селекции относительно данного отображения . .
III. Липшицевы операторы суперпозиции
6. Однозначные операторы суперпозиции
6.1. Операторы в пространствах СУф(/; X)
6.2. Функциональное уравнение f{t) = h(t, f(t}) . . . .
6.3. Операторы суперпозиции на gVф(I; X)
7. Многозначные операторы суперпозиции
7.1. Функциональное уравнение Иенсена
7.2. Операторы суперпозиции между классами GV .
7.3. Линейное функциональное включение
7.4. Операторы суперпозиции между классами gv,], . .
8. Отображения двух переменных
8.1. Банахова алгебра BV(/„; R)
8.2. Операторы суперпозиции в ВУ(7д; К)
8.3. Некоторые обобщения
Литература

Введение
Диссертация посвящена решению проблем существования селекций многозначных отображений, решений функциональных включений и описания многозначных операторов суперпозиции в классах отображений ограниченной обобщенной вариации.
Функции ограниченной вариации играют фундаментальную роль в теории функций вещественной переменной и имеют важные приложения в других разделах математики (см. [4], [8], [15], [17], [21], [24], [27], [37], [42], [51], [52], [53], [56], [71], [74], [90], [91], [93], [110], [115], [138], [176]). Понятие вещественной функции ограниченной вариации на вещественной прямой Е было введено К. Жорданом [128] в 1881 году в связи с признаком Дирихле сходимости рядов Фурье. Жордан также показал, что функция ограниченной вариации представима в виде разности двух неубывающих ограниченных функций. В 1905 году Дж. Витали [191] дал определение абсолютно непрерывной функции одной переменной, привел пример непрерывной функции ограниченной вариации, не являющейся абсолютно непрерывной, и предложил определение функции ограниченной вариации двух вещественных переменных. В различных контекстах функции ограниченной вариации изучали А. Лебег, Ш.Де Ля Валле-Пуссен, Г. Харди, Л.Тонелли, Л. Чезари, Ф. Рисс, Н. Винер, Л. Янг и другие математики (подробнее см., например, [80, § 3.12]).
К настоящему времени теория однозначных функций (и отображений) ограниченной вариации, в той или иной мере обобщающая идеи Жордана и Витали, развивалась в нескольких направлениях. В зависимости от специфики вариации, области определения V и области значений Л функций эти направления можно условно разделить следующим образом: (1) линейные вариации, где V = Ел при п ^ 2 и 77. = Е ([2], [11], [18], [22], [34], [35], [36], [41], [60], [75], [76], [80], [124], [126], [141], [173], [197]; в работе [78] Л есть метрическое пространство с дополнительными жесткими ограничениями); (и) линейные вариации, где V = Е и 77 есть метрическое или нормированное пространство ([1], [9], [19], [60], [69], [79], [86], [87], [132], [166]); (ш) нелинейные вариации, где V = Е и Л — М ([33],

Отображение / : Е —► X называется абсолютно непрерывными (на Е), если существует функция <5 : (0, со) —► (0, оо) такая, что для любого £ > 0, любого п Є N и любого конечного набора точек {а,-, £>,■}"= і С Е таких, что ах < Ьг ^ а2 < Ъг ^ ^ а„ < 6„, из условия ]С"=і(&і — «і) ^ ^(є)
вытекает, что £Г=і d(/(6,-),/(а,-)) < £. Более точно такое отображение / будем называть 8 (■)• абсолютно непрерывным, и поскольку, вообще говоря, функция <5(-) зависит от /, будем также писать <5(-) = £/(•). Полагаем
АС(£?; -Y) — {/ : ► X | / — абсолютно непрерывно на А1}.
Отображение д : Е~^ X называем натуральным, если V{g,Eha) — b — а для всех а, b Є Е, а ^ Ъ.
Любое липшицево отображение / : Е —+ X является абсолютно непрерывным (например, при (5(e) = є/ max{l, £{}, Е)}, є > 0), а натуральное отображение д : Е —> X является липшицевым с константой Липшица £(д,Е) = 1, поскольку в силу предложения 1.1(a) имеем:
d(g(t),g(s)) ^ V{g,Est) = s - t, t, s Є Е, < < s,
и £(g,E)^ 1, что вытекает из оценки в лемме 1.12(a) при Если .Е ограничено, то Ыр(Е;Х) С BV(£';X) (см. (1.14) ниже), а если Е компактно, то АС(Е;Х) С ВХ(Е;Х) (см. шаг 3 доказательства леммы 1.13 ниже).
Главный результат настоящего параграфа — следующая структурная теорема:
Теорема 1.11. Пусть 0 ф Е С К, (X,d) — метрическое пространство и / Є Xе. Отображение / Є BV(E;X) тогда и тюлько тогда, когда найдут,ся неубывающая ограниченная функция р : Е —> К и натуральное отображение g : J := <р(Е) X такие, что / = g о (р на Е. Здесь в необходимом условии функцию ip всегда можно определить правилом: