Спектральные свойства краевых задач с параметром в краевом условии

• Автор: Копылов, Виктор Иванович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1983
• Место защиты: Ульяновск
• Количество страниц: 105 c. : ил

СОДЕРЯАНИЕ

Глава I. Асимптотические формулы

§ I. Асимптотические формулы для собственных значений и собственных функций краевой задачи Штурма-Лиувилля

§ 2. Регуляризованный след краевой задачи

Штурма-Лиувилля

§ 3. Асимптотические формулы для собственных значений и собственных функций системы Дирака

Глава II. Одномерная система Дирака с периодическим

потенциалом

§ I. Непрерывные решения системы (I.I)

§ 2. Решение,принадлежащееX[о,1

§ 3. Исследование нулей функции 3^(Х)~ X
§ 4. Спектр системы Дирака
§ 5. Распределение чисел Д/г.,
§ 6. 0 лакунах в непрерывном спектре системы
Дирака
Глава III. Спектр краевой задачи Штурма-Лиувилля
§ I. Функция Вейля краевой задачи
§ 2. Вспомогательные утверждения
§ 3. Основные определения
§ 4. Теорема о резольвентном множестве
§ 5. Теорема о точечном спектре
§ 6. Теорема о непрерывном спектре
§ 7. Теорема о точечно-непрерывном спектре
§ 8. Пример
§ 9. Спектр системы Дирака
§ 10. Зависимость спектра от функции 1УСХ)
Литература

Краевые задачи,порождаемые некоторым дифференциальным выражением, содержащие спектральный параметр в краевых условиях,возникают во многих задачах физики. Например, задачу вибрации с различными видами нагрузок рассматривали С.Пуассон [і9] , Ж.Дюа-мель [20] , Дж.Рэлей [21] , А.Кнезер [22] ,С.Тимошенко и Д.Янг [23] , С.Тимошенко [24] ,Р.Курант [25] ,Р.Дейвис [2б] ,Г.Морган [27],ф.Черчилль [28], задачу теплопроводности между твердым телом и жидкостью рассматривали У.Педди [29] , Р.Лангер [30] , Р.Гаскелл [Зі] , Ф.Бауэр [32] , Г.Морган [27] ; диффузию водного пара через пористую мембрану рассмотрел Р.Пик [33] . Некоторые задачи об электрических цепях изучал К.Вангер [34]
С точки зрения спвктральнои теории краевые задачи с функцией спектрального параметра в краевом условии были рассмотрены в работах А. В.Штрауса [б] и [9] .В [9] для краевой задачи
т-тУштл
^ / УУ V—' I / (У VУ
где {У(Х) - функция, регулярная в С+ , Ля. &(ХЪ О
при + , выведено равенство Парсеваля

сииисошм а ъ

рс -
щ-лтдш (у-т,
ИуСхЛ) - решения уравнения (I/, удовлетворяющие начальным условиям
ит>і

ату о. и1ал)ра)и~1.
В статье [б] для более узкого класса функций 1/(Д) в краевом условии (2), т.е. функций вида (б), получено следующее равенство Парсеваля:
//// - ШШ), «>
где 4€£2[о;оо); уса> ]1(х)ч>(эса)с1х! тлу
СКД)' уугу ^>(А) - целые функции, не имеющие общих нулей, $СО - спектральная функция краевой задачи.
С 1973 по 1981 год был опубликован ряд работ ( [II] - [15]) [18] ), в которых рассматривается краевая задача,порождаемая дифференциальным выражением второго порядка с краевым условием вида
Лт(Ш-%и(а)ЬХШ(ашт, <«
где Д - спектральный параметр. Если переписать условие (4) в виде (2), то мы видим,что (ХД) в этом случае является дробно-линейной функцией. В работах [II] - [15] строится подходящее гильбертово пространство и оператор в нем определяется так, чтобы краевую задачу можно было рассматривать,как задачу на собственные значения этого оператора. Вальтер в [п] дал теоретико-операторную формулировку краевой задачи и получил теорему разложения,ссылаясь на самосопряженность соответствующего оператора. Фултон в [12] получает более прямое доказательство теоремы разложения,пользуясь методом книги [5] Э.Ч.Титчмарша для построения резольвенты. Метод Титчмарша дал возможность получить в [12] асимптотические формулы для собственных значений и собственных функций. Хинтон в работе [13] получил теоремы раз-

(ЗЛО)
(ЗЛ1)
(',иН^Р(фыШ' |РРРШ,~1Ш>
| и;нтш=-1 щ' ар+шр^-гш >
I шолуо,шолуо, [т)>о, о.
Применяя к системам (ЗЛО) формулы (3.3), находим:
§ -2Ш$1гсИ -2Ш$
Отсюда
Ж-’«$Щ* -иь^^т*
Принимая во внимание условия (3.8) и формулы (3.4),получим:
г«„г.„„,ч, Ат, -,,Лт,
=РРШ{Ш2Щт1ШУ8М/(Ш1М}+
+ % (Л)[% а л10 Рлшлш - буру, и валу}
-тшШтт-тф^ты]--елт (ш)ъ)№ммщштш}].
Последнее выражение преобразуется к виду
А к 2 „
~1И 11 [ШвЛЛ-¥Ж(1рФШЛУШШУ
а А е с