Вопросы теории операторов и уравнений типа Романовского с частными интегралами

• Автор: Елецких, Ирина Адольфовна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Липецк
• Количество страниц: 112 с.

ГЛАВА 1. ОБЩИЕ СВОЙСТВА ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ ТИПА

РОМАНОВСКОГО С ЧАСТНЫМИ ИНТЕГРАЛАМИ

§1. Задача, приводящаяся к уравнению типа Романовского. ...16 §2. Классификация операторов и уравнений типа Романовского с частными интегралами
§3. Операторы типа Романовского с частными интегралами в пространстве непрерывных функций

3.1. Непрерывность действия операторов типа Романовского

в С(Р)

3.2. Достаточные условия действия

3.3. Критерии действия

3.4. Пространства операторов типа Романовского

3.5. Композиции операторов типа Романовского

§4. Операторы типа Романовского с частными интегралами в пространствах Лебега

4.1. Непрерывность действия
4.2. Регулярность операторов типа Романовского
4.3. Сопряженные операторы к операторам типа Романовского
ГЛАВА 2. СПЕКТРАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ОПЕРАТОРОВ И УРАВ -НЕНИЙ ТИПА РОМАНОВСКОГО С ЧАСТНЫМИ ИНТЕ
ГРАЛАМИ
§5. Нетеровость и фредгольмовость операторов и уравнений типа Романовского с частными интегралами в пространстве непрерывных функций
5.1. Операторы и уравнения с непрерывными в целом и интегрально ограниченными ядрами
5.2. Операторы и уравнения с вырожденными ядрами
§6. Нетеровость и фредгольмовость операторов и уравнений
типа Романовского с частными интегралами в пространствах Лебега
§7. Обратимость операторов типа Романовского с частными
интегралами в пространстве С(П)
7.1. Условия обратимости
7.2. Об обратимости одного класса операторов
§8. Условия обратимости операторов типа Романовского с
частными интегралами в Ьр
§9. Альтернатива Фредгольма для уравнений типа Романовского с частными интегралами
ЛИТЕРАТУРА
1. Задача теории марковских цепей, поставленная в 1932 году известным советским математиком В.И. Романовским [87,108], приводится к интегральному уравнению вида
Это уравнение он исследовал методом, аналогичным методу определителей Фредгольма, в предположении непрерывности заданных функций т(£, в, а) и /(<, й). Для уравнения (1) характерно то, что сначала производится перестановка переменных в неизвестной функции под знаком интеграла и только потом интегрирование. Теория этого уравнения существенно отличается от теории интегральных уравнений Фредгольма, так как оператор, стоящий в правой части (1), — не интегральный и не вполне непрерывный.
Уравнение (1) является частным случаем уравнения
типа Романовского с частными интегралами, где Па;(і, в) = х(з, і), а
Свойства оператора (3) и уравнения (2) достаточно подробно исследованы в [42], там же приведены многочисленные приложения уравнений с частными интегралами, а также библиография работ по теории операторов и уравнений с частными интегралами.
Оператор (3) в пространстве непрерывных функций исследовался Ю. Аппеллем (Л.АрреП), П.П.Забрейко, А.С.Калитвиным,
(1)
х(і, в) = КЇ1х(і, й) + /(£, а)
(2)
(3)

Аналогично, проводя вычисления для остальных операторов, можно сделать заключение, что композиции операторов типа Романовского указанного в формулировке теоремы вида, являются интегральными операторами, причем все композиции представляются в виде суммы некоторого интегрального оператора и композиции интегрального оператора и оператора перестановки П. Теорема доказана.
Композиции остальных операторов типа Романовского являются операторами с частными интегралами. Например, (Ь + М о П + ЛГ1 о П) о (Х2 Т М2 оП + N2 о П) = 1/ о Е 2 -р (М о П) о Т2 -Р (А) о П) о 1/2 -р Е о (М2 о П) -р (М о П) о (М2 о П -р о П) о (М2 о П) -р Л/ о (N2 ° П) -р (Мх о П) о (N2 О П) + (А1 о П) о (N2 О П).
Слагаемые Ь о £2 и (М о П) о Т2 являются операторами с частными интегралами, все остальные слагаемые — интегральные операторы.
§4. Операторы типа Романовского с частными интегралами в пространствах Лебега
4.1. Непрерывность действия
Приведем условия действия операторов типа Романовского в пространстве ЬР(В) (1 < р < оо). Обозначим через Ь, М, N операторы, определяемые равенствами (2.1), (2.2) и (2.3) соответственно. С использованием теоремы Банаха и схемы доказательства теоремы 3.1 доказывается
Теорема 4.1. Если оператор С + К, (г = 1 6) с частными интегралами действует из пространства Ьр(0) в пространство Ьч(0), то он непрерывен.