Равномерные фреймы в конечномерных и бесконечномерных пространствах

• Автор: Лихобабенко, Мария Александровна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Самара
• Количество страниц: 96 с.

Оглавление
Введение

1 Фреймы в конечномерных пространствах

1.1 Определения и основное свойство фреймов

1.2 Критерий фреймовости самосопряженного оператора

1.3 Оператор Грама

1.4 Фреймы и операция свертки

2 Конструкция фреймов Парсеваля — Стеклова в конечномерных пространствах

2.1 Конструкция равномерных фреймов Парсеваля — Стеклова

2.2 Конструкция фреймов Парсеваля — Стеклова с заданными нормами

2.3 е-почти фреймы Парсеваля — Стеклова

3 Фреймы Грассмана и фреймы Габора
3.1 Фреймы Грассмана
3.2 Фреймы Габора
4 Фреймы Парсеваля — Стеклова в £2
4.1 Связь между базисом Рисса и фреймом
4.2 Блочные фреймы
4.3 Нормы фреймов и е-почти фреймов Парсеваля — Стеклова
Литература

Введение
Актуальность работы. Впервые понятие фрейма было введено в работе R.J. Duffin и A.C. Schaeffer [52]. Бурное развитие теории фреймов началось в конце 80-х годов прошлого века в связи с возникновением и развитием теории вейвлетов.
Интерес к фреймам связан с тем, что в отличие от классического базиса в определении фрейма отсутствует требование линейной независимости, что позволяет строить фреймы сколь угодно большого объема. Тем не менее, оказалось верным то, что любой элемент гильбертова пространства можно разложить по фрейму, причем не единственным образом. Такие представления имеют определенную ценность для многих прикладных вопросов, так как свойство избыточности фрейма позволяет восстановить исходный сигнал, даже если при передаче по сети некоторые из его коэффициентов разложения по фрейму были потеряны. В монографии С. Малла [24] подробно описано применение фреймов для уменьшения шума при обработке сигнала, а также для анализа изображений. Кроме того, фреймы находят широкое применение в цифровой обработке сигналов, сжатии информации, удалении помех, сжатом зондировании, дискретизации непрерывного сигнала и др. В каждой из перечисленных областей уделяется особое внимание фреймам специального вида, в том числе и равномерным фреймам, т.е фреймам с одинаковыми нормами. Использование таких фреймов упрощает многие вычислительные процедуры.
В книгах О. Christensen [50], И. Добеши [4], К. Чуй [37], К. Блаттера [1] описана общая теория фреймов в конечномерных и бесконечномерных пространствах. В диссертации основное внимание уделяется равномерным фрей-

мам и более общей задаче построения фреймов с заданными нормами.
Теория фреймов далека от завершения. Большие группы исследователей разных стран активно работают в этой области [38]—[51]. На сайте Исследовательского фрейм-центра постоянно обновляется список нерешенных проблем теории фреймов.
Цель работы. Исследовать устойчивость фреймов по отношению к действию операции свертки в конечномерных пространствах; построить равномерные фреймы Парсеваля — Стеклова в конечномерных пространствах над полем вещественных чисел; найти алгоритмы для конструкции фреймов Парсеваля — Стеклова с заданными нормами в конечномерных пространствах; доказать возможность построения и построить фреймы Парсеваля — Стеклова с одинаковыми нормами в бесконечномерных пространствах, отличных от ортонормированных базисов; описать наборы положительных чисел, которые являются нормами фреймов в бесконечномерных пространствах.
Методика исследований. Использовались методы теории функций и функционального анализа, теории матриц, абстрактной теории операторов, анализа Фурье и геометрии гильбертовых пространств.
Научная новизна. Основные результаты работы являются новыми. Среди них можно выделить следующие наиболее важные.
1. Доказана устойчивость фреймов по отношению к действию операции свертки в конечномерных пространствах.
2. Построены равномерные фреймы Парсеваля — Стеклова в конечномерных евклидовых пространствах.
3. Описан алгоритм построения фреймов Парсеваля — Стеклова с заданными нормами в конечномерных пространствах.
4. Введено понятие блочного фрейма и описано построние равномерных фреймов Парсеваля — Стеклова в бесконечномерных пространствах.
5. Найдены условия на наборы положительных чисел, которые являются нормами фреймов Парсеваля — Стеклова и е-почти фреймов Парсеваля — Стеклова в бесконечномерных пространствах.
Практическая и теоретическая значимость. Работа носит теоретиче-
дый элемент х Є Н записывается единственным образом в виде
х = + х0,

где вектор xq Є К er А, т.е. удовлетворяет условию Axq = 0; при этом
Ах = X/ Хісі9і
и если система {дД бесконечна, то lim Xj = О (j —> оо).
Определение 1.3 ([6]). Сингулярными значениями произвольного линейного оператора Т называются неотрицательные квадратные корни из собственных значений оператора Т*Т.
Теорема 1.2. Для фрейма {Гк}к=1 из пространства £2N следующие условия жвавилентпы:
1) собственные значения фреймового оператора S равны {АД;
2) N ненулевых собственных значений оператора Грама G равны {АДД;
3) N ненулевых сингулярных значений оператора анализа F и оператора синтеза F* равны {л/Л51 j'Li
Доказательство. Так как по лемме 1.6 оператор S самосопряженный
и положительные, то по теореме Гильберта — Шмидта существует полная