Аппроксимация типа Мюнца-Саса

• Автор: Краснобаев, Игорь Олегович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 70 с.

Оглавление
Введение
Глава 1. Необходимое условие полноты системы экспонент в
пространствах Со и I?(М+), р > 2.
1. Вспомогательные утверждения.
2. Необходимое условие полноты.
Глава 2. Аппроксимация типа Мюнца-Саса в весовых пространствах.
1. Вспомогательные утверждения.
2. Необходимое условие полноты системы экспонент в весовых
пространствах.
Глава 3. Описание нулей функции класса А00 в полуплоскости через их
проекции на мнимую ось.
Литература

Введение
Работа посвящена исследованию полноты систем экспонент в различных функциональных пространствах на полупрямой.
Известная теорема Вейерштрасса о плотности в пространствах 1^(0,1) и С[0,1] алгебраических полиномов может быть переформулирована как утверждение о полноте системы степеней {хп : п = 0,1,...} в соответствующих пространствах.
В 1914 г. Мюнц рассмотрел более общую систему
fin £ R и нашел условие ее полноты в пространствах L2(0,1) (когда —1/2 < < fil <-fi2 < ..., fin —> +00) и
(когда 0 < < д2 < ■■■)• В своей работе [16] (см. также [1]) Мюнц доказал,
что в случае пространства Со[0,1] полнота имеет место тогда и только тогда, когда
Появление пространства Со[0,1] вместо С[0,1] вызвано тем, что в данном случае все функции системы (1) обращаются в 0 в точке х — 0; можно заменить Со на С, присоединив к системе (1) функцию, тождественно равную единице.
Если ограничиться выше указанными требованиями к последовательности {д„}, то для пространств Ь2 и Со теорема Мюнца обладает полной завершенностью. Однако, вполне естественно рассмотреть не только произвольные вещественные, но и комплексные показатели, а также всю шкалу пространств 1Р(0,1), накладывая на показатели степеней в начале лишь условие принадлежности всех функций системы (1) пространствам ЬР и Со- Очевидно, эти условия таковы:
Именно эту обшую ситуацию при р = 2 рассмотрел Сас [22] (см. также [1]), доказавший, что если Ке/2п > —1/2, то система (1) полна в 1?{0,1) тогда и

С0[0,1] = {/еС[0,1]:/(0) = 0}
Refin > —1 /р, х>Лп € Lp,
Re рп > 0, /” £ Со.
только тогда, когда
^ Re/^„ + 1/
Задача описания полных систем (1) в пространствах
27(0,1), 1 ^ р < оо
и Со[0,1] (идущая от теорем Мюнца и Саса) может быть переформулирована (замена х = ехр(—t)) как задача описания полных систем из экспонент
в пространствах 27 = 27(0, +со) иС0- пространстве непрерывных на [0, оо) функций с sup-нормой, для которых
По видимому переформулировка в таком явном виде впервые появилась в [18] в книге Пэли и Винера. Начиная с этого момента будем иметь дело только с системой (2). Преимущество такой постановки задачи объясняется возможностью применения аналитических методов и методов функционального анализа, дающих наиболее полные результаты, хотя при этом мы вынуждены и ограничиться показателями р > 1.
Развитию данной тематики способствовали работы Р. Пэли и Н. Винера,
Н. Левинсона, Л. Шварца и других математиков.
Отправной точкой в нашем изложении будет условие
Верна следующая теорема (см. [19])
ТЕОРЕМА А. Условие (3) достаточно для полноты системы (2) в 27, р ^ 2 и в Cq, и необходимо для ее полноты в 27, 1 ^ р ^ 2.
В частности, система (2) полна в L2 тогда и только тогда, когда выполнено условие (3).
Утверждение данной теоремы при р = 2 — это теорема Саса [22], переформулированная для системы (2). Условие (3) при 1 < р < 2 не является достаточным (М. Грам, [13], [14]), а в случае пространства Со не является необходимым (А. Зигель, [21]). Вопрос о необходимости условия (3) при р > 2 открыт.
Глава 1. В связи с результатом Зигеля возникает вопрос о необходимых условий полноты системы (2) в пространстве (70. Первым содержательным результатом в этом направлении является необходимое условие Саса [22] (см.
{е'А^}Апел; Л = {Л„ Є С : ReЛ„ > 0}.

lim f(x) = 0.
æ—t+oo

2. Необходимое условие полноты системы экспонент в весовых
пространствах.
ТЕОРЕМА 2.1. Пусть даны последовательность
Л = {Ап : Ап G {w : 0 < Rew < Д 0 < Imu; < 27т}}
и функция
Ф) = 1 + J2 0 < “ <

где l(t) — медленно меняющаяся функция такая, что
1 1{п — 1)1(п + 1)

Тогда, если сходится ряд
X V I I/ J. І V t V I J. I
1 — — ) < ТТТТг----------, та Є N.

то система экспонент
е(Л) = {е Ап< : Ап е Л} неполна в пространстве Т2щца.
Доказательство. Рассмотрим отображение
г = е^° (42)
области
О = {ги : 0 < Кет, 0 < 1тад < 2тт} (43)
на единичный круг. Данное отображение однолистно переводит заданную область в открытый круг. Тогда, если обозначить через гп образы точек Ап при таком отображении, то мы получим, что для последовательности {гп} выполнены все условия Следствия 2.1, из которого следует, что существует функция ф(г) из класса обращающаяся в 0 на последовательности А„. Функция
/(г) из класса заданная на единичном круге, представляется в виде

ряда X) апгп. Сделаем замену переменной (42)

оо оо
22 ап2п = ^ апе~пю, мео.
П—0 71=О
Домножим полученный ряд на
1 - е