Спектральный анализ некоторых классов линейных отношений

• Автор: Хатько, Виктор Викторович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2007
• Место защиты: Воронеж
• Количество страниц: 87 с.

Оглавление:

Список обозначений

Глава 1. Некоторые сведения из теории линейных отношений

§1 Основные определения из теории линейных отношений

§2 Некоторые спектральные свойства линейных отношений.

Понятие инвариантности и прямой суммы линейных отношений.

Спектральное разложение для линейных отношений

Глава 2. Об относительно ограниченных и относительно

компактных линейных отношениях

§1 Определение и некоторые свойства фактор-отношений

§2 Относительно ограниченные и относительно компактные

линейные отношения
§3 Спектральные свойства относительно ограниченных и
относительно компактных линейных отношений
Глава 3. О полноте системы спектральных подпространств
линейного отношения
§1 Общий случай
§2 О полноте системы спектральных подпространств
упорядоченных пар линейных операторов
Литература
Список обозначений.
N - множество натуральных чисел;
С - поле комплексных чисел;
С - расширенная комплексная плоскость;
X, Y - банаховы пространства;
X х Y — декартово произведение двух банаховых пространств 1и У;
X* - пространство, сопряженное к банахову пространству X; Нот(Х, Y) - банахово пространство линейных ограниченных операторов, определенных на банаховом пространстве X со значениями в банаховом пространстве Y;
End X — Нот(Х,Х) — банахова алгебра эндоморфизмов банахова пространства X;
LO(X, Y) - множество замкнутых линейных операторов, с областью определения из X со значениями в Y;
LR(X, Y) — множество замкнутых линейных отношений между пространствами X и У;
Ю(Х) = LO{X,X), LR(X) = LR(X,X)
D(A) - область определения линейного отношения Л;
КегА - ядро линейного отношения А]
1тА - образ линейного отношения Л;
А* — сопряженное к Л линейное отношение;
сг(Л) - спектр линейного отношения Л;
а(Л) - расширенный спектр линейного отношения Л;
р(А) — резольвентное множество линейного отношения Л;
р(А) - расширенное резольвентное множество линейного отно-

шения А;
R(',A) : р(А) -» EndX — резольвента линейного отношения A G LR{X)
AXq - сужение линейного отношения А на подпространство
*о;
Х/М - фактор-пространство банахова пространства X по замкнутому подпространству М;
A/M - фактор-отношение линейного отношения А по инвариантному подпространству М;
Хоо = {х G f]n>i 1тАп ■ существует последовательность хп G А^Хп-ьХо = х, такая что lim^^ ÿ\xn\ = 0}.
Х{а) - спектральное подпространство отношения А, отвечающее замкнутому подмножеству а С С;
Ех - аннулятор для подпространства Е С Х
XF - обратный аннулятор для подпространства F С Х*
(G,F) - упорядоченная пара линейных операторов G,F из Hom(X,Y);
a (G, F) - спектр упорядоченной пары линейных операторов (G.F);
сt(G,F) - расширенный спектр упорядоченной пары линейных операторов (G,F)
p(G,F) — резольвентное множество упорядоченной пары линейных операторов (G,F);
p(G, F) — расширенное резольвентное множество упорядоченной пары линейных операторов (G,F);
R(-',G, F) : p(G, F) -> Hom(Y, X) - резольвента упорядоченной пары линейных операторов (G, F);

Лемма 2.3. Пусть А Е LR(X), Х - подпространство из X, определенное следующим равенством:
Х = {х Е П«>1 D(An) : существует последовательность хп Е Лх„_1,жо = х, такая что Птп_юо ^/|)жп|| = 0}.
Пусть Х — Х ф {0}, а отношение А не является почти сильно-сингулярным. Тогда Х - инвариантное и R-инвариантное подпространство относительно А, АХ = Ai Е EndXi иа(А) = {0} С а(А).
■4 То, что Х - инвариантное подпространство относительно отношения А, следует из определения Х.
Докажем, что А Е EndX. Для этого достаточно показать, что А0ГХ = {0}. Предположим противное. Тогда существует последовательность {ссп}, такая что хп Е Ахп-,хо = 0,lim n-эоо /|la'nll ~ Определим функцию / : С{0} -4 X следукнцим образом:
сх>
/и = ЕДг-

Применим (zl — А) к f(z):
00 00
(2,-д№) = щ-л)£^тэЕ^-£^ = *о = о.
п=0 л=0 п
То есть, 0 € (zl — A)f(z). Функция f(z) аналитична на бесконечности и для некоторых п коэффициенты хп отличны от нуля. Поэтому функция f(z) обращается в ноль только на множестве, не имеющем в С предельных точек, иначе по теореме единственности f(z) = 0, что невозможно при наличии коэффициентов хп ф 0. Получаем противоречие тому, что отношение А не является почти сильно-сингулярным. Следовательно, А Е EndX.