Весовые алгебры на локально компактных группах

• Автор: Кузнецова, Юлия Николаевна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2007
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 102 с.

Формулировки основных результатов
1 Теоремы общего характера
1.1 Начальные сведения
1.2 Инвариантность относительно сдвигов
1.3 Описание весовых функций
1.3.1 Обобщение теоремы Лебега
1.3.2 Критерий для веса алгебры С(О)
1.3.3 Различные условия для случая р > 1
1.4 Описание допустимых групп
1.5 Разные конструкции весовых алгебр
1.6 Аппроксимативные единицы
1.7 Инволюция в весовых алгебрах
2 Коммутативные алгебры
2.1 Пространство максимальных идеалов
2.2 Критерий регулярности
2.3 Конструкции регулярных алгебр
3 Задание умножения на данном линейном пространстве
3.1 Пространства со счетным безусловным базисом
3.2 Пространства
3.2.1 Сепарабельный случай
3.2.2 Несепарабельный случай
3.3 Пространства Фреше
Литература

Алгебры суммируемых с весом функций и рядов впервые появились в работах А. Бёрлинга [26] и И. М. Гельфанда [40] и с тех пор стали классическим объектом изучения в гармоническом анализе. Настоящая диссертация продолжает исследования в этой области.
Напомним, что одним из основных объектов гармонического анализа является алгебра суммируемых функций С{С1) = {/ : /с|/| < оо} на локально компактной группе (7 с операцией свертки
Можно заметить, что весовое пространство £(С) = {/'■/ fw < оо}, где вес го — некоторая функция, имеет очень похожие свойства, в частности, замкнуто относительно свертки, если вес ад полумультипликативен, т.е. удовлетворяет условию
Бёрлинг [26] впервые рассматривал такие алгебры функций на вещественной прямой, доказал для них теорему о голоморфном исчислении и описал несколько других свойств. Гельфанд [40] вычислил пространства максимальных идеалов алгебр С(К) и аналогичных алгебр степенных рядов 1Ь{(Ъ). Позже теория обобщалась на случай алгебр С (С?), р > 1 (первой в этом направлении является работа Вермера [64]). В этом случае, однако, не удаи>(ху) ф ад(ж)ад(у).
(1)

множеств. Пусть А С (? — компакт. Возьмем произвольную предкомпактную окрестность единицы V = И-1, тогда 1у = 1у-х £ С(С), /ду £ X благодаря предкомпактности множеств И и АП. Положим /у = /ду * /у/д(П) = /у 0 /дк/д(И), /у £ П. Легко проверить, что
/д ^ /у ^ /4Уг, откуда || /д - /у || < ||/д - /дугII. Но при этом
||/д - /дуг 112, = [ иРфМ,
J ЛУ2Д
что стремится к нулю при д(П) -4- 0 благодаря локальной интегрируемости функции тр. Итак, /д содержится в замыкании множества У, и следовательно, У = X.
Итак, для каждой функции Е У найдутся такие / £ ^(З), д €
££( = # ° / = / * зУ Но тогда
И®)1 = |(/*<^)(ж)| = | J /(/)^(ж“1/)с£/|
^ 11/11?,.ш-1 II зЦр,«» ^ /•'х||/||д,ад~1 ||5,||р,'ШСледовательно, (р/Ь £ £ос((?). Т.к. У = £“ '(С?) = гн£?((7), то отсюда для всех ф £ £9(С) получаем фъи/Ь £ £оо. Поскольку на любом компакте У функция ад отделена от нуля, а Т ограничена, то СЯ(Р) С Соо(Г), что возможно только при конечном У. Противоречие с предположением о том, что С не дискретна. □