Спектральные свойства гомоморфизмов банаховых модулей над кольцом измеримых функций

• Автор: Подорожный, Михаил Васильевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Ташкент
• Количество страниц: 105 c. : ил

§ О. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ

ГЛАВА I. ПРОСТРАНСТВА С Б-ЗНАЧНОЙ МЕТРИКОЙ И

ИЗМЕРИМЫЕ ПОЛЯ МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ

§ I. Измеримые поля метрических пространств

§ 2. Измеримые поля замкнутых множеств

§ 3. б-компактность

Глава II. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ В ПРОСТРАНСТВАХ С

З-ЗНАЧНОЙ НОРМОЙ. ИЗМЕРИМЫЕ ПОЛЯ ОГРАНИЧЕННЫХ ОПЕРАТОРОВ

§ I. Измеримые поля нормированных пространств

§ 2. 5-ограниченные линейные операторы в

пространствах с э-значной нормой

Глава III. СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ЭНДОМОРФИЗМОВ БАНАХОВЫХ 5-МОДУЛЕЙ.
§ I. Б-аналитические функции
§ 2. Спектр и резольвента
§ 3. Голоморфное исчисление
ЛИТЕРАТУРА

В настоящей диссертации исследуются спектральные свойства гомоморфизмов банаховых модулей над кольцом $ = 5 Е0. 11 измеримых по Лебегу функций и измеримые поля линейных ограниченных операторов на основе систематического изучения обших пространств с 5-значной метрикой и их разложении в измеримые поля метрических пространств.
Построение спектральной теории эндоморфизмов банаховых модулей над кольцом $ -измеримых по Лебегу функций естественным образом возникает в связи с необходимостью изучения спектральных свойств измеримых семейств ограниченных линейных операторов.
Систематическое изучение измеримых полей гильбертовых пространств и линейных ограниченных операторов в гильбертовом пространстве, а также измеримых полей операторных алгебр было начато в 30-40-х годах в серии основополагающих работ Дж. фон Неймана и Ф.Дж.Мюррея [50] , [51] . Построенная ими теория полу-чила дальнейшее развитие и нашла важные приложения в теории L и W^-алгебр, а также в теории локально компактных групп при рассмотрении вопросов, связанных с разложением их представлений в прямые интегралы неприводимых представлений.
Одно из направлений, использующих теорию измеримых полей ограниченных и неограниченных операторов, составляют разработанные Ю.М.Березанским и его сотрудниками метода исследования совместного спектра измеримых семейств таких операторов в гильбертовом пространстве [б] - [ю] . Эти исследования связаны с общей теорией случайных операторов в гильбертовом пространстве и теорией случайных матриц, построенной в работах A.B.Скорохода и других авторов [15] , [Sl] , [39] , [49] , [55] , имеющих ■ интересные и важные приложения в ряде разделов математической

физики, а также с теорией стохастических дифференциальных уравнений [16] , [38]
Изучение обших измеримых полей метрических и нормированных пространств тесно переплетается с теорией случайных метрических и нормированных пространств, получившей существенное развитие в работах А.Вальда [56 ] , Б.Швайцера [52] - [54] , А.Н.Шерстне-ва [42] - [44] и других математиков [27] , [28] , [40]
Близким к этому направлению исследованием является также теория случайных замкнутых множеств в метрических пространствах и ее приложения к задачам интегральной геометрии, распознаванию образов и ко многим другим задачам прикладного характера [и] , [19] , [21] , [зз] , [47] , [48]
Наиболее естественным методом изучения измеримых полей метрических и банаховых пространств является, на наш взгляд, рассмотрение определенных ими пространств с Э -значной метрикой и Б-значной нормой, в частности, банаховых 5-модулей. При таком подходе изучение этих объектов непосредственно примыкает к обшей теории метрических и нормированных пространств над полуполями и модулей над полуполями, развитой в работах М.Я.Антоновского ,
В.Г.Болтянского, Т.А.Сарымсакова [I] , [2] , [3] ,[ 34] ,
Дж.Хаджиева, А.В.Миронова, Я.Х.Кучкарова [20] , [23] , [Зб] , [36] , [38] и других математиков [4 ] , [24] - [27] , поскольку рассматриваемое нами пространство -измеримых функций яв-• ляется одним из наиболее важных и содержательных примеров по-луполей.
В связи с этим следует также отметить, что исследование широкого класса векторных пространств нормированных над К -пространствами проводились в серии работ Л.В.Канторовича и его учеников [и], [и] , [м]
Исследования в диссертации группируются в следующих

измерима по -Ь для любого элемента
к : ф —^ К (В)
из К . Тогда X является измеримым полем банаховых пространств сек А- Действительно, для любых о(,реК,
И любых X, 3 £ X функция Ъ (К,"Ь) = <4 х (к ,4:) + р <3 (кЛ) непрерывна по к на К*, для почти всех Ь и функция
■Ъ —*■ г(к:(Ь)Л)-. с*х(кСЬ),Х) + р ^С^Е-ь)
измеримая функция на X , то есть для X имеет место условие из определения ИПБП.
Пусть множество { Кк > ю, = 1,2,.- счетное подмножество К такое, ЧТО [ К^(В) , ии = 1,21, - • ■ 3 плотно в для почти всех "ЬеХ . Для каждого к = 1,2 и рационального "с > о рассмотрим функцию у С^о.-Ь) ^ к0еК± , ± еТ
определенную равенством
—оЦ.СКи.№),Ко) ^ есш С(^(кис-Ь)|к„)<ъ
О , если
Очевидно, содержится в X . Пусть Г алгебра над полем
рациональных чисел порожденная системой функций Хп. , и=1/2 , 'ь - рациональное, тогда Г счетное подмножество X и Ц-{ГС-.К): Кег - счетное подмножество пространства С(КЦ плотное в нем по норме в силу теоремы Стоуна-Вейерштрасса. Таким образом, для X справедливо условие С2.
Так как множество (к^СЬ), И, = 1,2 ^ ПЛОТНО В , ТО
т/СВх |х(к,-Ь)| = ууиох |х(К^(-Ь),-Ь)1
К£ ии функция -Ь —»■ ^ - измерима на X в
силу измеримости функций . Таким