Билинейные инвариантные дифференциальные операторы на тензорных полях

• Автор: Грозман, П.Я.
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 143 c. : ил

ГЛАВА I. ОПРЕДЕЛЕНИЯ

§ I. Тензорные поля

§ 2. Инвариантные дифференциальные операторы

ГЛАВА 2. РЕЗУЛЬТАТЫ

§ 3. Инвариантные операторы

§ 4. ТГ-инвариантные операторы

ГЛАВА 3. ВЫЧИСЛЕНИЯ

§ .5. Старшие особые векторы

§ 6. Доказательство теоремы 3.10 в случае П.-1

§ 7. Особые и 2Г-особые векторы при К1 = 2

§ 8. Доказательство теорем ЗЛО и 4.4 в случае У1 >

§ 9. Доказательство теоремы 3
ЛИТЕРАТУРА

0*1. Инвариантными оператораим мы будем называть операторы на тензорных полях, одинаково записывающиеся в любой /криволинейной/ системе координат на многообразии м.
Важность таких операторов для физики стала ясной после открытия общей теории относительности. Согласно принципу эквивалентности, движение тела в гравитационном поле эквивалентно движению вне поля, но в неинерциальной системе отсчета /причем с криволинейными координатами, если гравитационное поле неоднородно/. Воздействие гравитационного поля на различные тела выражается, согласно уравнению Эйнштейна, через метрику пространства. Инвариантность этого уравнения является математической формулировкой принципа эквивалентности.
Аналогичным образом инвариантные операторы должны появляться всегда, когда имеется зависимость между тензорными полями на многообразии, не меняющаяся при замене системы координат, либо условие на тензорное поле, либо алгебраическая структура на пространстве тензорных полей. Примеры - структура алгебры Ли на пространстве векторных полей, формула Стокса, уравнение геодезической, условие локального выпрямления пары векторных полей, условие локальной интегрируемости поля плоскостей, условия Коши - Римана и другие /в последнем примере допускаются только аналитические координаты/.
0.2. Тензорными полями будем называть сечения расслое-ний вида ЕЧР(/М)= (ТМ)®Р ® (Т*7Ч)®? •

В данной работе мы ограничимся рассмотрением линейных дифференциальных операторов
ГСМ, ЕРЧ'(М)) — г(74,
и билинейных дифференциальных операторов
Г(М, (м)) X Г(м,£ 1(М)) _ Г(М, £9O0J.
Простейшим линейным инвариантным оператором первого порядка является полный дифференциал функции
hx) ^ = Ж.
t = / «
Инвариантность этого оператора является одной из фундаментальных теорем дифференциального исчисления.
Обобщением этого оператора является внешняя производная дифференциальных форм:
о(-' J2P(/4) -*> _5ZP+'6M
Оператор et оказался единственным линейным дифференциальным инвариантным оператором ненулевого порядка на тензорных полях. Это было доказано для дифференциальных форм - Р. Пале, [26], 1959 г., для ковариантных тензорных полей - X. Лейхером, [23], 1973 г., для тензорных полей общего вида - независимо и разными методами - А.Н. Рудаковым, [13], 1974 г., A.A. Кирилловым, [7], 1977 г. и Ч.-Л, Тэн, [29] /1976 г. - в диссертации, опубликовано в 1978 г./.
Перейдем к билинейным операторам. Исторически первыми и наиболее известными инвариантными операторами первого

аналогом алгебры Ли группы , см. [П.
Через Ject ^ С. /вс^ обозначим алгебру Ли безди-вергентных векторных полей на , она является аналогом алгебры Ли группы оО[^^ , см.£іО].
Если ^ [X) - поле скоростей однопараметрической группы диффеоморфизмов ^ » то действие
%ся) на ^ определяется предельным переходом:

/ - представление касательное к р
и отличается лишь знаком от производной Ли /см. 3.5/.
5.2. ПРЕДЛОЖЕНИЕ. Билинейный дифференциальный оператор
6 : X I ^ —- / т
инвариантен / ^-инвариантен/ тогда и только тогда, когда
Ш№в>) = ШМ)+В(%ММ»
для любых ^ £ Г в С ) ^£/ес^
Доказательство. Пусть оператор 3 инвариантен,
{ У3 ^ ” однопараметрическая группа диффеоморфизмов /£ ,
^ € /вб£ - его поле скоростей. Зафиксируем •Х0£$.У) г / £ / о , £? € I ^ . Так как