О полноте и распределении значений функций, составляющих ортонормированную систему

• Автор: Манукян, Вазген Микаелович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Ереван
• Количество страниц: 102 c. : ил

ГЛАВА I. ОСОБЕННОСТИ ТИПА КАРЛЕМАНА И ВЕЙЛЯ

§ I. Особенности Карлемана и Вейля для функций

непрерывных в заданной точке

§ 2. Особенности Карлемана и Вейля для функций,

непрерывных хотя бы в одной точке

Глава II. О ПОЛНОТЕ ПОДСИСТЕМ ФУНКЦИЙ УОЛША

§ 1Л Пространство Ц. Система Уолша (определения,

вспомогательные результаты)

§ 2. Полные подсистемы Уолша

§ 3. Неполные подсистемы Уолша

ШВА Ш. О НОСИТЕЛЯХ ФУНКЦИЙ, ОБРАЗУЮЩИХ ПОЛНУЮ

ОРТОНОРМИРОВАННУЮ СИСТЕМУ
УКАЗАТЕЛЬ СТРАНИЦ ОПРЕДЕЛЕНИЙ И УТВЕРЖДЕНИЙ
ЛИТЕРАТУРА

Работа состоит из трех глав. Первая Глава IIосвящена построению некоторых полных ортонормированных систем в L4o.il , относительно которых некоторый заданный класс функций обладает особенностью Карлемана или Вейля.
Пусть {ч„60} - ортонормальная система в 12 Co.il и $-(х)еИ[о,1] . Тогда коэффициенты Фурье функции ^(х) по системе {ии(х) удовлетворяют условию

Спрашивается, можно ли утверждать что-нибудь большее относительно скорости убывания коэффициентов сл , нежели выполнение (I) хотя бы для "хороших?1 функций, скажем для непрерывных?
Постановка вопроса восходит к Карлеману, который впервые установил (см./1/, с.311) существование непрерывной функции, коэффициенты Фурье которой по тригонометрической системе удовлетворяют условию

210*1 = ©° при всех р<2. (п)

В связи с этим возникло следующее определение (сп./2/,с.270; /3/, с.5): функция ^(>0 обладает особенностью Карлемана относительно системы {<4и(х) , если ее коэффициенты Фурье
с^_ удовлетворяют условию (П).

Теорема Карлемана означает существование непрерывной функции, обладающей особенностью Карлемана по отношению к тригонометрической системе. Теорема Карлемана в дальнейшем обобщалась различными авторами (Палей, Банах, Орлич, Стечкин, Махмудов и др.), работы которых относятся к тригонометрической системе,-

здесь наиболее важный результат принадлежит С.Б.Стечкину /Д/» а также к системам, ограниченным в совокупности.
Существование непрерывной функции, обладающей особенностью Карлемэна относительно системы Хаара, установил Орлич /5/. Аналогичный вопрос для произвольных полных систем был поставлен А.М.Олевским в работе /6/, где для любой полной ортонормальной системы было установлено существование непрерывной функции, обладающей особенностью Карлемэна. Там же был получен аналогичный результат и для особенностей типа Вейля. Именно в /б/ доказано, что для произвольной полной ортонормальной системы {^„(>0^ и для любой последовательности са? (п.") —*-*•00
найдется непрерывная функция $(х) , коэффициенты Фурье которой удовлетворяют следующему соотношению:
Общий смысл сформулированных результатов состоит в том, что какова бы ни была полная ортонормальная системе, коэффициенты Фурье непрерывных функций по этой системе могут убывать как угодно медленно, в рамках выполнения условия (I). Разумеется, окончательным результатом такого рода явился бы следующий:для любой полной системы и для любой последовательности

< со , найдется непрерывная функция с
коэффициентами с„ , (с„1<|£>Л • Однако такой результат
несправедлив уже для системы Хаара. Тем не менее оказывается верным несколько более слабый результат /7/. Именно, в приведенной выше формулировке следует заменить с„ на
где {Ц - некоторая фиксированная последовательность номеров,
2с-си(п.)=<=
(Ш)

C2.II)
Легко видеть, что функции Р(У) , Q(x) и соответствующие им последовательности ступеньчатых функций рл(У) и <%(.><) удовлетворяют условиям, указанным в определении 4. Проверим только условие 2° для последовательности ftCx") и функции Р(У)
Последовательно используя соотношения (2.5), (2.6), (2.3), (2.9) получим
Теперь, если воспользоваться следствием из теоремы Леви (см., например, /29/, с.286), то из соотношения (2.12) следует, что

(2.12)
Из леммы А и сходимости ряда 2, l'U£(x) + *Swl .следует,что
LC гЛ*4