Дифференциальные операторы и анализ Фурье : теоремы вложения с предельным показателем и их приложения

• Автор: Столяров, Дмитрий Михайлович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2014
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 200 с.

Оглавление

Глава 1. Введение

1.1. Обозначения

1.2. Описание работы

1.2.1. Основные результаты

1.2.2. Структура работы

1.3. История вопросов

1.3.1. Теоремы вложения типа Соболева

1.3.2. Задачи о неизоморфности

1.3.3. Размерность векторных мер, подчиненных дифференциальным условиям

1.4. Вспомогательные сведения
1.4.1. Вещественный анализ и геометрическая теория меры .
1.4.2. Теория банаховых пространств и функциональный анализ
1.4.3. Общий гармонический анализ
Глава 2. Теоремы вложения
2.1. Абстрактная билинейная теорема вложения
2.2. Теоремы вложения для систем уравнений
2.3. Билинейные неравенства: эллиптический случай
2.3.1. Положительные результаты
2.3.2. Отрицательные результаты
2.4. Билинейные неравенства: неэллиптический случай
2.4.1. Положительные результаты
2.4.2. Отрицательные результаты
2.5. Смежные вопросы, обобщения и гипотезы

2.5.1. Квадратичные неравенства
2.5.2. Пересадка теорем вложения на тор
2.5.3. Линейные теоремы вложения для неэллиптических операторов
2.5.4. Описание пространств функций, зануляющихся на кривых
Глава 3. Неизоморфность банаховых пространств
3.1. Доказательство теоремы о неизоморфизме
3.1.1. Вспомогательные утверждения
3.1.2. Преобразование набора операторов
3.1.3. Построение специальных элементов
3.1.4. Построение оператора в гильбертово пространство
3.1.5. Противоречие
3.2. Примеры конкретных наборов дифференциальных операторов
3.3. Эллиптический случай
3.3.1. Теорема о многочлене
3.3.2. Теорема об изоморфизме
Глава 4. Размерность мер, подчиненных дифференциальным условиям
4.1. Утверждение о размерности
4.1.1. Усиление леммы Фростмана
4.1.2. Вывод теоремы о размерности из усиленной леммы Фростмана
4.2. Теоремы вложения, связанные с вопросом о размерности
4.2.1. Общая гипотеза и ее двойственная формулировка

4.2.2. Доказательство частного случая гипотезы 4.2.4, двойственного теореме Гальярдо-Ниренберга-Соболева
Глава 5. Заключение
5.1. Что еще надо изучить?
5.2. Благодарности
Список литературы
Приложение

действует из пространства £)([/„) в пространство £>(Ж'г), кроме того, ясно, что сумма Ех^(/Сп) не меняет своего значения на поверхности Д. □
Немного пространств Бесова. Пространства Бесова были введены О. В. Бесовым в работах [39] и [40]. Современное описание теории этих пространств можно найти в книгах [2, 41]. В первой книге используется более классический подход с позиций вещественного анализа, во второй — с позиций гармонического анализа. Начнем описание с первого подхода. Пусть г е [1 ..<2] (напомним читателю, что это означает, что г есть произвольное целое число отрезка [1,с£]), 5 € Я, а Л > 0. Символом А^(Д) мы будем обозначать оператор конечной разности порядка« с шагом /г, примененный пог-ой координате. Его действие задается по правилу
Д?(Л) [/] (х) - ]Г(-1 )’С’/(х + Цз - Л). (1.4.3)

Пусть 1г — вещественное число, которое отвечает “номеру производной” по г-ой координате, д — показатель суммируемости (1 < д ^ оо), а в € [1, оо] — интерполяционный параметр. Определим полунорму на пространстве Сд0(Мсг) формулой

/ Г / 0 г} Ь о
*;*• = ( (А-ЧКтЛк,«) у) ■ (14.4)

Здесь б — вспомогательный параметр, на него наложено требование в > 1г. В случае, если Л^-норма в определении полунормы (1.4.4) заменена на Д^-норму Лоренца (1 ^ г ^ оо), то получившуюся полунорму мы будем отмечать символом . Важным свойством таких полунорм является то, что они не зависят от параметра«, т.е. для всяких чисел йх и «2, йь яг > 1г, полунормы, заданные формулами (1.4.4) с и «2 вместо в, эквивалентны.