Бассейны неподвижных точек и оценки в классе однолистных функций

• Автор: Гуменюк, Павел Анатольевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Саратов
• Количество страниц: 106 с.

ГЛАВА I. БАССЕЙНЫ НЕПОДВИЖНЫХ ТОЧЕК ОДНОПАРАМЕТРИЧЕСКИХ СЕМЕЙСТВ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

1.1. Формулировка и доказательство основной леммы

1.2. Оценка скорости покрытия линий уровня диска Зигеля бассейнами притяжения

1.3. Сходимость непосредственных бассейнов притяжения к диску Зигеля

1.4. Достаточное условие равномерности покрытия линий уровня диска Зигеля бассейнами притяжения

1.5. Области вложимости итераций в непрерывную

полугруппу

ГЛАВА II. НИЖНЯЯ ОЦЕНКА РАЗМЕРА БАССЕЙНА ПРИТЯЖЕНИЯ ЧЕРЕЗ РАДИУС ОДНОЛИСТНОСТИ

2.1. Сведение задачи к оценке функционала Дд в классе однолистных

функций

2.2. Оценка функционала Дд

2.3. Точная нижняя оценка функционала Д5
2.4. Свойства точной нижней оценки функционала Дд как функции
мультипликатора
ГЛАВА III. ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ОДНОГО СЕМЕЙСТВА ФУНКЦИОНАЛОВ
3.1. Формализация экстремальной задачи как задачи оптимального
управления
3.2. Доказательство вспомогательных утверждений

3.3. Доказательство основной теоремы и следствия из неё
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Диссертационная работа посвящена исследованию бассейнов неподвижных точек методами геометрической теории функций, а также решению одной экстремальной задачи для однолистных функций.
Значительная часть исследований по геометрической теории функций так или иначе связана с классом <5 всех аналитических однолистных в единичном круге функций /, нормированных разложением /(г) = г+аг%1+
Эти исследования во многом были мотивированы гипотезой Бибербаха [1], сформулированной им в 1916 году и остававшейся недоказанной вплоть до 1984 года. Гипотеза состояла в том, что для всех / € 5 и натуральных п справедливо неравенство |а„| ^ п. Попытки обосновать это утверждение привели к разработке богатого арсенала методов, появлению новых направлений в геометрической теории функций.
После того, как Л.де Бранж [2] доказал гипотезу Бибербаха, интерес к изучению классов однолистных функций несколько снизился. Однако развитие теории не остановилось, исследования в данной области не потеряли актуальности. Болес того, полученные результаты и разработанные в её рамках методы получили новые приложения, например, в задачах математической физики [3-5], в теории квазиконформных отображений (см. например, [6, 7]), в теории вероятностей [8-10]. Нашли они применение и в изучении асимптотического поведения итераций аналитических функций [11-15], что составляет одно из интенсивно развивающихся направлений в современной теории функции комплексного переменного, получившее название комплексной динамики.
Целью данной работы является исследование непосредственных бассейнов неподвижных точек, основанное на применении методов и результатов теории однолистных функций, а также решение экстремальной заПредложение 6. Если последовательность аналитических функций hn : D —> С сходится равномерно внутри области D к однолистной функции h, то для всякой области G, G С D, существует щ = tiq(G), такое что при всех п > по функции hn однолистны в G.
Доказательство. Предположим противное. Переходя при необходимости от последовательности hn к её подпоследовательности, можно без потери общности считать, что для каждого п Е N функция hn не является однолистной в области G, то есть существует пара точек z'n, z”x 6 G, таких что hn(z'n) = hn(z”) =: wn. Пусть гу* — одна из предельных точек последовательности wn. Опять переходя при необходимости к подпоследовательности, можно считать, что wn —> ту* при п —> +оо. В силу равномерной сходимости последовательности hn на G и ограниченности предельной функции h на этом множестве, равенство ту* = оо не возможно. Выберем произвольно область G', так чтобы G С G' и G' С Д Согласно теореме Гурвица (см., например, [66, стр. 426]), для всякого достаточно большого п £ N число нулей Мп функции h*n{z) := hn{z) — wn в области G' (подсчитанное с учётом кратности) совпадает с числом нулей функции h*(z) := h(z) — ту, в этой же области, а значит, не превышает единицы. С другой стороны, по построению Мп ^ 2, п 6 N. Полученное противоречие доказывает Предложение 6. □
Доказательство Теоремы 5. Зафиксируем произвольное г € (0,1). Требуется доказать, что для всех Л G Wo, достаточно близких к Ло, существует область U, Sr С U С И, такая что полугруппа 5(/л> U) вложима.
Выберем любое го G (г, 1). Применяя Лемму 1 для тех же значений N и г, что и при доказательстве Теоремы 1,
N := t (2тг/q1 |J(*)| dtj sin (тг/4 - 6/2)) , т := log 1
получаем, что f(STo) С Sro при всех Л G Wq П D(Ao, £*), для некоторого е* > 0. Заметим, что в силу леммы Шварца вложение f{STg) С Sro влечёт f{Sri) С Sri для всех п ^ г0.