Некоторые типы квадратурных формул и многочлены Чебышева, ортогональные на дискретных сетках

• Автор: Кулибеков, Нурулла Асадуллаевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Саратов
• Количество страниц: 109 с.

СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ

§1. Некоторые понятия из теории функций и функционального

анализа

§2. Многочлены Чебышева - Хана дискретного переменного . . 21 §3. Многочлены Якоби

ГЛАВА И. КВАДРАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ С РАВНООТСТОЯЩИМИ

УЗЛАМИ

§1. Постановка задачи

§2. Построение квадратурной формулы

§3. Оценки для весов квадратурной формулы
§4. Сходимость квадратурного процесса с равноотстоящими узлами
ГЛАВА III. О ПРИМЕНЕНИИ ОРТОГОНАЛЬНЫХ МНОГОЧЛЕНОВ ЧЕБЫШЕВА ДИСКРЕТНОГО ПЕРЕМЕННОГО К ПРИБЛИЖЕН
НОМУ ВЫЧИСЛЕНИЮ КОНЕЧНЫХ СУММ
§1. Постановка задачи
§2. Некоторые вспомогательные результаты
§3. Асимптотические формулы для ортогональных многочленов
Чебышева дискретного переменного
§4. О нулях многочленов Чебышева
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

ВВЕДЕНИЕ
Актуальность темы. В последнее время получила интенсивное развитие теория многочленов, ортогональных на дискретных сетках, вызванная многочисленными приложениями этих многочленов в математической статистике, вычислительной математике, теории кодирования, в квантовой механике и других областях. Эти приложения, в свою очередь, приводят к постановкам теоретических задач, связанных со свойствами самих многочленов, ортогональных на дискретных сетках. В частности, представляют интерес свойства этих многочленов, связанные с некоторыми приложениями в вычислительной математике. В настоящей работе исследуются свойства многочленов Чебышева, ортогональных на равномерных сетках, связанные с построением квадратурных формул с равноотстоящими узлами, обладающими высокой алгебраической точностью. Потребности в таких формулах часто возникают в том случае, когда требуется интегрировать функцию, обладающую высокой гладкостью, значения которой заданы в узлах равномерной сетки. На основе многочленов Чебышева, ортогональных на равномерной сетке, в настоящей работе (глава II) построены квадратурные формулы с равноотстоящими узлами, представляющие собой обобщение известных квадратурных формул Ньютона - Котеса. Получен алгоритм построения таких формул и исследованы вопросы сходимости построенного квадратурного процесса. Другая задача, рассмотренная в главе III настоящей работы, также относится к теории квадратурных формул. В ней исследуется дискретный аналог хорошо известных квадратурных формул типа Гаусса. Построение дискретного аналога квадратур типа Гаусса также основано на применении многочленов Чебышева, ортогональных на равномерных сетках. В связи с этой задачей возникают вопросы разделения корней многочленов Чебышева, ортогональных на

равномерных сетках, и их приближенного вычисления. Здесь, в свою очередь, возникают вопросы об асимптотическом поведении указанных многочленов.
Объект исследования. В работе исследуются многочлены Чебышева дискретного переменного, ортогональные на равномерных сетках, свойства этих многочленов, связанные с построением квадратурных формул с равноотстоящими узлами, точных для всех алгебраических многочленов достаточно высокой степени. Рассматривается также дискретный аналог квадратурных формул типа Гаусса, основанных на применении многочленов Чебышева, ортогональных на равномерных сетках.
Цель работы.
1) Построить квадратурные формулы с равноотстоящими узлами, представляющие собой обобщение известных квадратурных формул Ньютона - Котеса.
2) Получить алгоритм для вычисления весов квадратурной формулы с равноотстоящими узлами и положительными весами, точной для всех алгебраических многочленов достаточно высокой степени, а также оценить эти веса.
3) Исследовать вопросы сходимости построенного квадратурного процесса.
4) Построить дискретный аналог квадратурной формулы типа Га-усса, основанный на применении многочленов Чебышева, ортогональных на равномерной сетке, и указать границы, отделяющие каждый из корней этих многочленов от остальных.
Общие методы исследования. В диссертации применяются методы теории функций и функционального анализа.
Научная новизна. Построены квадратурные формулы с равноот-

'N-2 М-А
+ I (ж + 1)(1У - х - 1 4- /3):
о N-2/
хр(ж + 1)<Эй-1(ж; ск + 1;/? + 1) — 1)йх —

I (х + 1) (ЛГ - х - 1 + /3)р(ж + 1)С2к-1{х] а + 1, (3 + 1, N — 1 )йх+
+ [ (х + 1)(]У - х - 1 + /3) х

хр(х + 1)ф*_1(ж; а + 1,/3 + 1, ./V — 1)йж. (2.2.16)
Далее у-1 л-х
У У(х)с1х = I х(М — х + 0)р(х)С2к-1(х — 1; о; + 1, (3 + 1, N — 1)с£а о о
Производя подстановку £ = ж — 1 в последнем равенстве, получим
ЛГ-1 N-
I У(х)(1х= J У(£ + 1 )сЙ =

= J (£ + 1)(1^ — £ — 1 +/?)р(£ + 1)£,Д-1(£; сх + 1,/31, .ЛГ — 1)сЙ —
О XV-2
1+1 {1+1)^~1-1 + (3)р{Ь+^к.х{1-а + 1,(3+1,М-1)(И -1 о /