Методы приближенного вычисления гиперсингулярных интегралов и интегралов в смысле Адамара

• Автор: Бабаев, Рауф Мусеиб оглы
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Баку
• Количество страниц: 141 c. : ил

ГЛАВА I. КВАДРАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ ГИПЕРСИНГУЛЯРНОГО

ИНТЕГРАЛА ПО ОТРЕЗКУ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ ОСИ

§ 1.1. Построение квадратурной формулы

§ 1.2. Оценка погрешности квадратурной формулы в

С(а,£)

§ 1.3. Оценка погрешности квадратурной формулы

С д. в классе Ны'р'У . О неулучшаемости

оценки погрешности по порядку

§ 1.4. "С - оценка" для гиперсингулярного интеграла с весом в классе С[л,ё]

§ 1.5. О порядке аппроксимации гиперсингулярного

интеграла с веоом по отрезку

§ 1.6. Представление гиперсингулярного интеграла
с весом по отрезку от алгебраических многочленов в терминах специальных функций
Глава II. ИНТЕРПОЛЯЦИОННАЯ КВАДРАТУРНАЯ ФОРМУЛА ДЛЯ
СИНГУЛЯРНОГО ИНТЕГРАЛА АДАМАРА
§ 2.1. Построение интерполяционной квадратурной
формулы. Вычисление коэффициентов
§ 2.2. Оценка погрешности квадратурной формулы в

классе ЬЦ
ЛИТЕРАТУРА

Актуальность темы. К настоящему времени в построении и исследовании приближенных методов вычисления сингулярных интегралов, донимаемых в смысле главного значения Коши, достигнуты значительные успехи. Библиография работ по построению квадратурных формул для сингулярных интегралов с ядром Коши весьма обширна. Обзор полученных в этом направлении результатов имеется в монографиях Иванова В.В. [23] , Габдулхаева Б.Г. [ 14] , а так же в специальных обзорных работах этих же авторов [24,13]
В отличии от сингулярных интегралов, приближенные методы вычисления зтиперсинзулярных интегралов и интегралов, понимаемых в смысле конечного значения по Коши-Адамару (интеграл Адамара), исследованы мало, хотя в ряде прикладных задач встречаются именно эти интегралы. Так, например, при решении интегральных уравнений линейной теории несущей поверхности [10,66,67] возникают интегралы Адамара, а при обращении обобщенных риссовских потенциалов [54-55] и при представлении некоторых классов псевдодифференца-альных операторов [44-47] - гиперсинзулярные интез?ралы.
В связи с этим представляет интерес изучение методов приближенного вычисления указанных интегралов.
Цель -работы. Работа посвящена построению и обоснованию приближенных методов вычисления гиперсингулярных интез?ралов, понимаемых в смысле главного значения Коши, и интегралов Адамара.
Методика исследований. При выводе и обосновании полученных в работе результатов используются теория приближения функций, свойства гиперсинзулярных интегралов и интегралов Адамара.

Научная новизна. В диссертации получены следующие основные результаты:
- строится квадратурная формула для гиперсингулярного интеграла с непрерывной на интервале плотностью и находится оценка погрешности, которая является неулучшаемой в классе /7^д^ ;
- дан способ получения оценки погрешности приближения гилер-сингулярных интегралов с непрерывной плотностью шперсингулярными интегралами с полиномиальной плотностью в весовых пространствах, основанный на £ -оценке для гиперсингулярных интегралов;
- в терминах специальных функций найдено представление для гиперсингулярного интеграла с весом по отрезку от алгебраических многочленов;
- построена интерполяционная квадратурная формула для интеграла Адамара и найдена оценка её погрешности в классе
целое).
Теоретическая и практическая пенность. Теоретическая ценность работы заключается в построении и обосновании методов приближенного вычисления, учитывающих специфику гиперсингулярных интегралов и интегралов Адамара. Полученные результаты могут найти применение при дальнейшем развитии теории приближенных мтодов вычисления рассматриваемых интегралов.
Практическая ценность работы заключается в возможности применения полученных результатов к численному решению прикладных задач, в которых встречаются гиперсингулярные интегралы и интегралы Адамара.
Диссертация является самостоятельным исследованием автора.
По материалам диссертации опубликованы работы f2,6,7,8]

ЛЕММА 4.1. Пусть и.(ои) = иа)=о и 5 с-н
Тогда для любого £*(°> %р] справедлива оценка
5^ /вшСи^СС«,/*,*) Г
асе(«а.Л) <- о |^х > £х ]
Доказательство. Пусть хб(а,0 . Обозначим
, если эс-£>о^ С х+£ , если эс.+-в<£,
(Я. , если Х-£<СХ, I ё , если Х + £^£.
Интервал (х*,ос*) обозначим через <о6х) #
Для хе(а,§) очевидно следующее представление:
д,Лд =
+ а(ос) ^_сс)ыС€-х)<£
У. и. С-£) - и Сс) 3 АА
<^00

6"Оо) (^~<х)*)Ц-*1
г >& Г £4ЩсИ
4- (эс-а.) (£-Х-) и Фб-<хР(ёР)р{-~х-)/1-Р
РЛ &(к)
Слагаемые, стоящие в правой части последнего равенства, обозначим через Л1 , и Лъ , соответственно.
Здесь и в дальнейшем под С понимается положительные
постоянные, зависящие лишь ОТ р , ^ , ... , вообще говоря, разные в различных неравенствах.