Спектральная теория операторов, интегралы типа Коши и меры Кларка

• Автор: Капустин, Владимир Владимирович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 177 с.

Содержание
1 Введение

1.1 Общая характеристика работы

1.2 Интегралы типа Коши и сингулярные меры

1.3 Спектральный анализ почти унитарных операторов

1.4 Возмущения изометрической полугруппы сдвигов

2 Интегралы типа Коши и сингулярные меры

2.1 Предварительные сведения

2.2 Преобразование Коши для пары мер

2.3 Усреднённые волновые операторы

2.4 Волновые операторы и унитарная эквивалентность

2.5 Преобразование Гильберта относительно сингулярной меры
2.6 Граничное поведение функций из Кв
3 Спектральный анализ почти унитарных операторов
3.1 Функциональные модели
3.2 Вопросы подобия
4 Возмущения изометрической полугруппы сдвигов
4.1 Возмущения изометрической полугруппы сдвигов на полуоси .
4.2 Возмущения унитарной группы сдвигов на оси
Список литературы

1 Введение
1.1 Общая характеристика работы
Результаты диссертации относятся к области математического анализа, находящейся на стыке теории функций и теории операторов, и связанной с теорией функциональных моделей операторов в гильбертовом пространстве.
Связь между теорией функций и теорией операторов, близких к унитарным или самосопряжённым, но не являющихся таковыми, проявилась в так называемой характеристической функции операторов. Впервые в некотором частном случае её определение появилось ещё в статье [23]. Оказалось, что с помощью характеристической функции можно не только изучать спектральные свойства операторов, но она также и определяет оператор с точностью до унитарной эквивалентности. Это направление прорабатывалось разными школами, см. [13, 11, 12, 24], а также [78], [77] и [48]. Внимание уделялось различным вопросам спектрального анализа операторов, и одним из первых возник вопрос о подобии изучаемого оператора унитарному оператору [81, 80]; или самосопряжённому, в зависимости от подхода [27]. Кроме того, исследовался вопрос о подобии двух модельных сжатий между собой в терминах их характеристических функций [58], а также о подобии модельного оператора нормальному [21]. Было обнаружено, что более широкий класс модельных сжатий будет охвачен, если ввести свойство квазиподобия, несколько более слабое, чем подобие. Оказался естественным вопрос о построении “жордано-вых моделей” операторов, т.е. операторов специального вида, к которым с помощью перехода к квазиподобному оператору можно свести операторы из разных классов [79, 82, 86, 85], а также классификации сжатий относительно квазиподобия [14].
Общему случаю функциональных моделей сжатий в гильбертовых пространствах посвящена монография [35], более современное изложение многих вопросов оттуда можно также найти в [44]. Одним из центральным результатов теории является взаимно однозначное (с точностью до унитарной

эквивалентности) соответствие между сжатиями и их характеристическими функциями - сжимающими аналитическими операторнозначными функциями в единичном круге. По каждой такой функции можно построить соответствующий ей модельный сжимающий оператор. Аналогично, для любого сжатия можно вычислить его характеристическую функцию, причём соответствующее ей модельное сжатие будет унитарно эквивалентно исходному сжатию.
Хотя и было ясно, что разные подходы к функциональным моделям в своей сути тесно взаимосвязаны, казалось желательным включить их в единую общую схему. Это и было сделано [65], а именно, была построена бескоорди-натная функциональная модель, для которой другие ранее известные были частными случаями. В качестве иллюстрации применения бескоординатного подхода см. [15].
Содержательные результаты получаются для сжатий, в том или ином смысле близких к унитарным (или изометрическим) операторам. Так, если Т - сжатие и операторы I — Т*Т, I — ТТ* имеют ранг 1, то характеристическая функция сжатия Т будет скалярной, т.е. её значения будут операторами в одномерном пространстве. Даже в случае дефектных индексов, равных 1, функциональная модель имеет приложения в физике, см. [29]. При конечных дефектных индексах, а особенно в случае, когда дефектный оператор является ядерным (т.е. принадлежит классу операторов со следом), для такого класса операторных моделей получается широкий класс приложений в теории рассеяния, см. [22].
Если ввести дополнительное ограничение о сильной сходимости степеней оператора к нулевому оператору, то получится класс сжатий, обладающий простейшей моделью (с точки зрения теории функциональных моделей). Характеристические функции таких сжатий оказываются скалярными и внутренними, т.е. их абсолютные величины строго меньше 1 в единичном круге, а граничные значения имеют модуль, равный 1, почти всюду относительно меры Лебега на единичной окружности.

осуществляющего спектральное представление оператора иа. Кларк определил его через граничные значения функций, образующих плотное множество в Ко, а позже А.Г.Полторацкий [33] показал, что на самом деле угловые граничные значения (Та-ПОЧТИ всюду существуют для всех функций из Кд. Унитарный оператор Уа сопоставляет функциям из Кд их граничные значения. Обратный оператор V* : Ь2(иа) —»■ Кд действует по формуле
(1£Л)(*) = (1 - в(г))К^) = (1 - *(*))
и, таким образом, значения в круге функций из Кд восстанавливаются по их граничным значениям <та-почти всюду с помощью интегралов типа Коши.
2.1.3 Методы суммирования
Здесь даётся необходимая информация о методах усреднения для ограниченных последовательностей, занумерованных неотрицательными целыми числами. Возьмём направленное множество индексов а, которое как правило будет либо множеством неотрицательных целых чисел с направлением п —> +оо, либо интервалом [0,1) с направлением т /• 1. Пусть рап — веса, определяющие регулярный метод суммирования. Точнее, предположим, что
• Ра,г, > 0; для всех а ^7= оРа.п = 1;
• для всех п ^ 0 Ра.п ----> 0.

Усреднения последовательности (хп) имеют вид
Ха ^ ^ п
Если (хп) сходятся, то ха также сходятся, однако обратное в общем случае неверно; это позволяет рассматривать усреднённые пределы последовательностей, которые не сходятся в обычном смысле. Первое свойство означает,